Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562044
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых среди кор­ней урав­не­ния x в квад­ра­те минус 10x плюс 35=a|x минус 6| будет ровно два по­ло­жи­тель­ных.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Гра­фик y = x в квад­ра­те минус 10x плюс 35  — па­ра­бо­ла y = x в квад­ра­те , сдви­ну­тая на (5; 10), гра­фик функ­ции y = a|x минус 6|  —

гра­фик функ­ции y = |x|, сдви­ну­тый на (6; 0) и рас­тя­ну­тый в a раз. При a мень­ше или равно 0 урав­не­ние не имеет кор­ней.

Найдём по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром пра­вая часть ло­ма­ной y = a|x минус 6| ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы:

x в квад­ра­те минус 10x плюс 35 = a левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 10 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 35 плюс 6a=0,

D = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 10 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка 35 плюс 6a пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но 100 плюс 20a плюс a в квад­ра­те минус 140 минус 24a = 0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 4a минус 40 = 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но a = 2 \pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та \underseta боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но a = 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та .

Найдём по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром левая часть ло­ма­ной y = a|x минус 6| ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы:

x в квад­ра­те минус 10x плюс 35 = минус ax плюс 6a рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 10 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка 35 минус 6a пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

D = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 10 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка 35 минус 6a пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но 100 минус 20a плюс a в квад­ра­те минус 140 плюс 24a = 0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс 4a минус 40 = 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но a = минус 2 \pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та \underseta боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но a = минус 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та .

Найдём по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром левая часть ло­ма­ной y = a|x минус 6| про­хо­дит через точку левая круг­лая скоб­ка 0; 35 пра­вая круг­лая скоб­ка :

35=a|0 минус 6| рав­но­силь­но 35=6a рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Опре­де­лим ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных кор­ней при всех воз­мож­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра:

 

Зна­че­ния
па­ра­мет­ра		Ко­ли­че­ство кор­ней
на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка 		Ко­ли­че­ство кор­ней
на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 6; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка 		Общее ко­ли­че­ство
по­ло­жи­тель­ных кор­ней
a мень­ше минус 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та нет кор­нейнет кор­нейнет кор­ней
a= минус 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та один ко­реньнет кор­нейодин ко­рень
минус 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби два корнянет кор­нейдва корня
дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та один ко­реньнет кор­нейодин ко­рень
a= 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та один ко­реньодин ко­реньдва корня
a боль­ше 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та один ко­реньдва корнятри корня

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та минус 2; дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко ис­клю­че­ни­ем точки a = 4.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен про­ме­жу­ток (4; +∞), воз­мож­но, с ис­клю­че­ни­ем гра­нич­ной точки a = 4 и ис­клю­че­ни­ем точки a = 3

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния.

2
За­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния пря­мой и окруж­но­сти и пря­мых (ана­ли­ти­че­ски или гра­фи­че­ски).1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 562041: 562044 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Ком­би­на­ция «кри­вых», Левая и пра­вая части в ка­че­стве от­дель­ных гра­фи­ков, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025