ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 562193 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: |x минус 6| плюс a минус 6, знаменатель: x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате конец дроби = 0$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

$дробь: числитель: |x минус 6| плюс a минус 6, знаменатель: x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате конец дроби = 0 равносильно система выражений |x минус 6| = 6 минус a, x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x = a, x = 12 минус a, конец системы . a меньше или равно 6, x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате не равно 0. конец совокупности .$

Чтобы уравнение имело два различных корня, числа a и $12 минус a$ должны быть различны, поэтому $a не равно 12 минус a,$ откуда $a не равно 6.$ Таким образом, $a меньше 6,$ и ни одно из чисел a и $12 минус a$ не должно являться корнем уравнения $x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате = 0.$ Подставляя эти числа в уравнение $x в квадрате минус 10x плюс a в квадрате ,$ найдем, при каких a они являются корнями:

1)  из $a в квадрате минус 10a плюс a в квадрате = 0$ получаем $a = 0$ или $a = 5$

2)  из $левая круглая скобка 12 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 10 умножить на левая круглая скобка 12 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате = 0$ получаем:

$2a в квадрате минус 14a плюс 24 = 0 равносильно a в квадрате минус 7a плюс 12 = 0 равносильно совокупность выражений a = 3, a = 4. конец совокупности .$

Тем самым, $a меньше 6,$ $a не равно 0,$ $a не равно 3,$ $a не равно 4,$ $a не равно 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$

Примечание.

Решая аналогичную задачу 562192, мы привели более длинное графическое решение.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2.	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, i> = −1 и/или i> = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 562193: 562192 Все

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь