Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 562048
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Зна­ме­на­тель пра­вой части равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Пред­ста­вим урав­не­ние как про­из­ве­де­ние си­ну­са и ко­си­ну­са, рав­ное 1:

синус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус 2x=2 синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Мо­ду­ли мно­жи­те­лей не пре­вос­хо­дят 1, по­это­му воз­мож­ны толь­ко два слу­чая: оба мно­жи­те­ля равны 1 или −1:

си­сте­ма вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1, ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1, ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1. конец си­сте­мы .

Пер­вый слу­чай:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =2 Пи n; конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,4x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . k, n при­над­ле­жит Z .

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, где k при­над­ле­жит Z .

Вто­рой слу­чай:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,4x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = Пи плюс 2 Пи n; конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,4x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . k, n при­над­ле­жит Z .

Эта си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое ре­ше­ние x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, где k при­над­ле­жит Z .

 

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти (см. рис.) най­дем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­лу­ча­ем:

x_1= минус 2 Пи плюс Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ;

x_2= минус 2 Пи плюс 2 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ;

x_3= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: a) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния от­ве­та на за­да­ние С5 Баллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах. 2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а,

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки,но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов: пунк­та а и пунк­та б

 1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше. 0
Мак­си­маль­ный балл 2
Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние кос­вен­ных ме­то­дов, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Пе­ре­бор слу­ча­ев, Фор­му­лы двой­но­го угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025