Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Вик­тор пла­ни­ру­ет 15 де­каб­ря взять в банке кре­дит на 2 года в раз­ме­ре 1 962 000 руб­лей. Со­труд­ник банка пред­ло­жил Вик­то­ру два раз­лич­ных ва­ри­ан­та по­га­ше­ния кре­ди­та, опи­са­ние ко­то­рых при­ве­де­но в таб­ли­це.

Ва­ри­ант 1

− Каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 18% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен за два года двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми.

Ва­ри­ант 2

−1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

− со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− 15 числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

−к 15-му числу 24 ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

На сколь­ко руб­лей мень­ше ока­жет­ся общая сумма вы­плат банку по более вы­год­но­му для Вик­то­ра ва­ри­ан­ту по­га­ше­ния кре­ди­та?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — раз­мер кре­ди­та, он равен 1962 ты­ся­чам руб­лей. Срок по­га­ше­ния кре­ди­та n со­став­ля­ет 2 года или 24 ме­ся­ца. Про­цент­ная став­ка r со­став­ля­ет в пер­вом ва­ри­ан­те 18% го­до­вых, а во вто­ром 2% еже­ме­сяч­но.

В пер­вом ва­ри­ан­те долг х вы­пла­чен двумя пла­те­жа­ми, по­это­му  левая круг­лая скоб­ка S умно­жить на 1,18 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка 1,18 минус x = 0, от­ку­да

S умно­жить на 1,3924 минус 2,18x = 0 рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: S умно­жить на 1,3924, зна­ме­на­тель: 2,18 конец дроби \undersetS = 1962 тыс.\mathop рав­но­силь­но x = 1253,16 тыс. руб.

Сумма вы­плат со­став­ля­ет 1253,16 умно­жить на 2 = 2506,32 тыс. руб.

Во вто­ром ва­ри­ан­те суммы долга со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию:

S умно­жить на 1,02, S умно­жить на 1,02 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , S умно­жить на 1,02 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 22, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , \ldots, S умно­жить на 1,02 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

а вы­пла­ты равны

S умно­жить на 0,02 плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: S умно­жить на 0,02 умно­жить на 23 плюс S, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: S умно­жить на 0,02 умно­жить на 22 плюс S, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , \ldots, дробь: чис­ли­тель: S умно­жить на 0,02 плюс S, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

По­это­му для суммы вы­плат по­лу­ча­ем:

S плюс S умно­жить на 0,02 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 22, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс ... плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = S плюс S умно­жить на 0,02 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 24 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= S плюс S умно­жить на 0,02 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = S плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 1,25S.

или 1,25 умно­жить на 1962 = 2452,5 тыс. руб.

Сле­до­ва­тель­но, более вы­го­ден кре­дит, опи­сан­ный в ва­ри­ан­те 2; раз­ность сумм вы­плат со­ста­вит

2506,32 минус 2452,5 = 53,82 левая круг­лая скоб­ка тыс. руб. пра­вая круг­лая скоб­ка = 53 820 руб.

 

Ответ: 53 820 руб­лей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 562008: 562037 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Банки, вкла­ды, кре­ди­ты, За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор, За­да­чи о кре­ди­тах, По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии