ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 562213 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$левая круглая скобка 4|x| минус a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 минус a правая круглая скобка \leqslant0$

имеет хотя бы одно решение из промежутка [−4; 4].

Спрятать решение

Решение.

Неравенство верно, если один из множителей обращается в нуль, либо если множители имеют разные знаки, то есть если при $минус 4 меньше или равно x меньше или равно 4:$ или $a = 4|x| минус 3,$ или $a = x в квадрате минус 2x минус 2,$ или

$система выражений 4|x| минус a минус 3 больше 0,x в квадрате минус 2x минус 2 минус a меньше 0, конец системы .$

или

$система выражений 4|x| минус a минус 3 меньше 0,x в квадрате минус 2x минус 2 минус a больше 0. конец системы .$

Выделим оранжевым (см. рис.) решение системы

$система выражений a меньше 4|x| минус 3,a больше x в квадрате минус 2x минус 2, минус 4 меньше или равно x меньше или равно 4 конец системы .$

на отрезке [−4; 4]. Линии $a = 4x минус 3$ и $a = x в квадрате минус 2x минус 2$ также соответствуют решениям. Найдем наибольшее из значений параметра при $x = 4,$ получим: $a = 16 минус 3 = 13.$ Таким образом, в рассматриваемом случае решения есть при каждом значении $a принадлежит левая квадратная скобка минус 3;13 правая квадратная скобка .$

Выделим синим синим цветом решения системы

$система выражений a больше 4|x| минус 3,a меньше x в квадрате минус 2x минус 2, минус 4 меньше или равно x меньше или равно 4. конец системы .$

Линии $a = минус 4x минус 3$ и $a = x в квадрате минус 2x минус 2$ также соответствуют решениям. Найдем наибольшее из значений параметра при $x = минус 4,$ получим: $a = 16 плюс 8 минус 2 = 22.$ Таким образом, в рассматриваемом случае решения есть при каждом значении $a принадлежит левая квадратная скобка минус 3; 22 правая квадратная скобка .$

Итак, уравнение имеет хотя бы одно решение при всех значениях параметра из отрезка $левая квадратная скобка минус 3;22 правая квадратная скобка .$

Ответ: [−3; 22].

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 562213: 562215 Все

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых», Неравенства с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь