Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 и 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рубль, если n = 16?
б) Могли ли её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n = 26?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и n = 19?
а) Допустим у нее было 5 монет по 2, 5 монет по 5 и 6 монет по 10, итого 16. При этом 64 = 6 · 10 + 2 · 2 и 31 = 5 · 5 + 3 · 2.
б) У нее должны были быть минимум две монеты в 5 рублей, иначе суммы 15 и 25 не набрать. Остается набрать 15 − 5 + 20 + 25 − 5 = 50 с помощью 24 монет. Если среди них есть десятка или пятерка, то общая сумма не меньше 23 · 2 + 5 = 51. Если же их нет, то общая сумма равна 24 · 2 = 48.
в) Пусть было x пятирублевых, y двухрублевых и 19 − x − y десятирублевых. Тогда общая сумма была равна 5x + 2y + 10 · (19 − x − y) = 96, значит, 5x + 2 · (y − 3) + 10 · (19 − x − y) = 90 откуда следует, что y − 3 кратно 5.
Если y = 3, то получим 5x + 10 · (16 − x) = 90, x = 14.
Если y = 8, то получим 5x + 10 · (11 − x) = 80, x = 6.
Если y = 13, то получим 5x + 10 · (6 − x) = 70, x = −2, что невозможно.
Если y = 18, то получим 5x + 10 · (1 − x) = 60, x = −10, что невозможно.
Брать y еще больше нельзя.
Итак, оптимальный случай — 8 монет по 2 рубля, 6 монет по 5 рублей и 5 монет по 10 рублей.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.