В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.
а) Треугольники AOB и BOC подобны, поэтому угол BAO равен либо углу BCO, либо углу CBO. Пусть ∠BAO = ∠BCO, тогда треугольник ABC равнобедренный, AB = BC. Рассмотрим треугольник DCO. Угол DCO не может быть равен углу BAO, поскольку стороны AB и DC не параллельны, следовательно, ∠DCO = ∠ABO. Аналогично ∠DAO = ∠CBO = ∠ABO, следовательно, треугольник ADC равнобедренный и AD = DC. Тогда AB + DC = AD + BC, следовательно, в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
Пусть ∠BAO = ∠CBO, тогда, рассуждая аналогично, получим AB = AD и BC = CD, следовательно, AB + CD = AD + ВC и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим угол BCD:
так как все треугольники прямоугольные. Следовательно,
а потому четырехугольник ABCD является вписанным. Тогда диагональ BD — диаметр окружности. Получаем: 
а 
откуда
Не нарушая общности, положим длину BO равной 4, а длину OD равной 9, тогда в треугольнике BOC:
Найдем полупериметр и площадь четырехугольника и радиус вписанной окружности:
Осталось отметить, что диагональ АС может является другой диагональю четырехугольника и биссектрисой его углов. В этом случае аналогичное приведенному выше квадратное уравнение не имеет корней. Следовательно, такая конфигураций невозможна.
Ответ: 