1. Тип 18 № 500004 
Классификатор алгебры: Уравнение окружности
Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него
Задача с параметром. Уравнение окружности
i
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система 
имеет ровно два решения.
Решение. Неравенство задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рис.). Графиком уравнения является окружность радиуса
центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
данной окружности. Из треугольника POK находим: 
где 
― угловой коэффициент прямой 
Таким образом, 
откуда
Окончательно получаем: 
или 
Ответ: 
или
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки) | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули) | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
500004
или Классификатор алгебры: Уравнение окружности
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: 
и 
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если 
то уравнение принимает вид: 
и задаёт единственную точку 
координаты которой удовлетворяют неравенству: 
Следовательно, при 
система имеет единственное решение.
Тогда уравнение 
определяет окружность радиусом 
Центр 
окружности лежит на прямой y=2x, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках 
и 
Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке A или в точке 
Если точка касания — A, то 
что невозможно. Окружность касается полосы в точке B, только если 
и 
Получаем:
то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
Тогда точка (a, a) равноудалена от прямых x = 2y и y = 2x, значит, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.
прямые пересекаются, поэтому исходная система имеет не два, а всего одно решение.
и радиусом 
Неравенство 
определяет вертикальную полосу 
Вторая система имеет решение 
лежит на дуге ω2 и прямая OC перпендикулярна прямой O1O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.
прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.
или 
прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
или 
прямая m не пересекает дуги ω1 и ω2, то есть исходная система не имеет решений.
или 
и 
окружностей радиуса 
с центрами в точках 
и 
лежащих ниже и выше прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Заметим, что точка касания 
лежит на дуге 
перпендикулярна прямой 
поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
или совпадающую с ней.
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг 
то есть исходная система имеет два решения.
прямая m касается дуг 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m пересекает каждую из дуг 
или 
прямая m не пересекает дуги 
или 
и радиусом 
Неравенство 
определяет горизонтальную полосу 
На рисунке видно, что единственное решение получается в двух случаях. 
а радиусы 
и 
Решим два уравнения: (1) 
и (2) 
уравнение (2) имеет вид 
Решением уравнения (1) являются числа 1 и 
Решением уравнения (2) являются числа 
то получаем уравнение
и радиусом 
то получаем уравнение
и радиусом 
и 
лежащих на прямой 
поэтому в первом случае получаем дугу 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
прямая m перпендикулярна прямой O1B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги 
значит, прямая m касается дуги 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m пересекает дугу 
прямая m пересекает дугу 
и радиусом 1,5. Второму уравнению — окружность с центром в точке 
и радиусом 
(возможно, эта окружность вырождается в точку, если 
Тогда эта точка имеет координаты 
и на первой окружности не лежит). Система будет иметь единственное решение, если эти окружности касаются друг друга, то есть расстояние между их центрами будет равно сумме или разности радиусов. 
или 
эти уравнения превращаются соответственно в 
откуда 
Последнее уравнение не имеет положительных корней.
эти уравнения превращаются соответственно в 
откуда 
Последнее уравнение не имеет корней на данном промежутке.
эти уравнения превращаются соответственно в 
имеет единственное решение.
то уравнение 
задает окружность 
с центром в точке 
радиуса 
а если 
то оно задаёт окружность 
того же радиуса (см. рис.).
задаст окружность 
с центром в точке 
радиуса 
Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность 
имеет единственную общую точку с объединением окружностей 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
где 
то 
или 
окружности 
окружности 
или 
окружности 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
Так как 
то 
или 
окружности 
не пересекаются. При 
окружности 
или 
окружности 
то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
имеет ровно четыре решения.
получаем систему
(см. рис.).
откуда 
или 
являются искомыми.
где b = a − 3. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
Поэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = 3, поэтому 
и 
равносильны?
ни одна из систем не имеет решений и, следовательно, они равносильны. При 
удовлетворяющее и первым уравнениям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при 
с центром в начале координат. Уравнение 
равносильно бесконечной совокупности уравнений 
соответствующей 
в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой 
т. е. чем число 
или 
Добавляя полученные ранее значения 
получаем ответ.
поскольку при остальных значениях его левая часть больше 0. Подставим эти значения во второе уравнение и получим 
откуда 
при 
при остальных а решений нет.
не имеет решений.
задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей 
а уравнение 
при 
― окружность с центром 
и радиусом 
(см. рис.).
откуда 
уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при 
решением уравнения является пара 
которая не удовлетворяет неравенству 
Решения второго уравнения — точки прямой 
Следовательно, система имеет более одного решения тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности (3a − 1, −2a) до прямой 
меньше радиуса 
данной окружности. Получаем систему:
то, раскрывая модуль, находим:
и радиусом 1.
то
и радиусом 
и 
лежащих на окружности 
поэтому в первом случае получаем дугу 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
прямая m перпендикулярна прямой O2A, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги 
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m не пересекает дуги 
то получаем уравнение
удовлетворяют уравнению.
с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу 
с концами в точках A и B(0; −2) (см. рис.).
и 
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
возможно, с включением граничных точек
то получаем уравнение
и радиусом 1.
во втором — прямую l, задаваемую уравнением 
с концами в точках A и 
(см. рис.).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуги 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
и 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
задает прямую. Эта прямая при всех a проходит через точку 
и радиусом 
и точки 
Система не будет иметь решений тогда и только тогда, когда прямая 
— угол между касательными к окружности 
проведёнными из точки 
образованного этими касательными с прямой AK, равен 
(см.рис.). Воспользовавшись формулой тангенса двойного угла, получим 
Значит, для касательных к окружности 
имеем два случая: 
(1) или 
(2) 
При прочих значениях параметра уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы исходная система могла иметь ровно два решения, решения уравнения (1) должны лежать вне области определения системы: радиус окружности должен быть таким, что ни одна из ее точек не попадала в область 
или 
Следовательно, при 
система имеет два решения. Оба они лежат в области 
исходная система уравнений имеет ровно два решения.
Следовательно, уравнение задает пару прямых 
и 
— уравнение окружности с центром 
и радиусом 
то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
то условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых, то есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности. Получаем уравнение
проводится к 
при условии 
и задает верхнюю полуокружность радиуса 
приводится к 
при условии 
и задает верхнюю полуокружность радиуса 
Ее центр перемещается по прямой 
крайняя точка первой полуокружности лежит на второй, а при 
имеем:
и проходящую через точки 
и 
имеем:
и радиусом 5.
и 
лежащих на окружности 
поэтому в первом случае получаем два луча l1 и l2 с концами в точках A и B соответсвенно, во втором — дугу 
лежит на дуге 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуги 
прямая m пересекает дугу 
или 
прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2 и дугой 
то есть исходная система не имеет решений.
тогда из исходной системы получим
исходная система имеет ровно ровно 4 различных решения тогда, когда система (⁎) имеет ровно два различных решения для 
При 
совокупность
и луч, лежащий на прямой 
Уравнение 
при 
Неравенство 
означает, что решения системы (⁎) должны лежать строго выше прямой 
— значение параметра a, при котором прямая 
Пусть 
— значение параметра a, при котором прямая 
Эта точка имеет координаты 
И пусть 
— значение параметра a, при котором прямая 
Очевидно, что ответ имеет следующий вид: 
Получаем: 
Имеем: 
откуда 
графиком первого уравнения в системе координат xOy является окружность с центром в точке 
и радиусом 
при 
Исходная система будет иметь ровно четыре решения тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно четыре общие точки с семейством прямых. 
при любом значении 
и прямая 
касаются окружности при одном и том же значении a. Радиус окружности в этом случае равен половине диагонали квадрата со стороной 1, то есть радиус равен
откуда 
Значит, при 
то каждое уравнение системы есть уравнение окружности. В этом случае система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда расстояние между центрами этих окружностей равно сумме или разности их радиусов. При 
имеем систему
Расстояние O1O2 между центрами 
и 
равно
и 
Уравнение (1) имеет вид 
уравнение (2) имеет вид 
Решением уравнения (2) являются числа 
1.
Поэтому неравенство задаёт пару вертикальных углов в плоскости Oax. Уравнение 
задаёт окружность с центром (0; 0) радиуса 4 в этой же плоскости. Решения системы — точки дуг окружности, лежащие в указанных вертикальных углах. 
и 
с угловым коэффициентом 
(см. рис., выделено синим). Графиком второго уравнения является семейство окружностей с центром в точке 
и радиусом 2. В зависимости от значения параметра a окружность и ломаная могут не иметь общих точек или иметь одну, две (на рисунке выделено оранжевым) , три (выделено красным) или четыре общие точки (на рисунке выделено зелёным).
где a1 — абсцисса центра окружности, касающейся ломаной; a2 — абсцисса центра окружности, проходящей через точку 
Найдём a1, используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки 
до прямой 
должно равняться радиусу окружности:
поэтому 
Графиком первого уравнения исходной системы является та часть окружности с центром в точке 
и радиусом 
которая принадлежит полосе между прямой 
и прямой 
Соответствующие две дуги окружности выделены на рисунке синим цветом. Графиком второго уравнения исходной системы является пучок прямых, проходящих через точку 
или 
или 
проходящей через точку 
(выделено оранжевым), 
(выделено фиолетовым), 
(выделено зелёным), 
— угловой коэффициент прямой 
Найдём 
используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки 
должно равняться 
имеем:
поэтому 
Отметим также, что 
значит, исходная система имеет ровно одно решение при 
или 
или 
или 
имеет два решения при 
или при 
имеет единственное решение на отрезке [−1;1]
или 
Оно имеет единственное решение x = 1 на отрезке [−1;1] при 
Эта система имеет единственное решение 
на отрезке [−1;1] при 
и не имеет решение на этом промежутке при других значениях параметра а. 
уравнение 
задают две прямые, проходящие через начало координат. Двойное неравенство 
задают внутреннюю часть вертикальной полосы, ограниченной прямыми 
и 
Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
и окружности: подставим 
то есть 
Аналогично найдем абсциссы точек пересечения окружности и прямой 
откуда 
которые могут быть решениями системы при условии существования логарифмов. Требуется, чтобы (строго) внутрь полосы 
симметричной относительно оси ординат, попали ровно две из трех этих точек. Это происходит в точности тогда, когда 
Таким образом, 
принимает вид: 
Подставляя в полученное уравнение y = x, получаем 
откуда 
или 
Подставляя в уравнение (⁎) 
получаем 
откуда 
или 
или 
или 
задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при 
задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми 
и 
включая границы. Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки. 
является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением 
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
не пересекает дугу окружности в точке, отличной от начала координат, а значит, найденные значения параметра не являются искомыми.
или при 
за исключением ранее отброшенных точек 
задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми 
Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
и 
одинаково. Поэтому искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим случай 
Точка 
если при этом прямая 
не пересекает дугу в точке, отличной от точки 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.
в плоскости 
Прямые 
и 
разбивают плоскость на четыре области, обозначенных римскими цифрами. В каждой из областей левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Установим, в каких областях неравенство верно, взяв пробные точки.
— верно.
— неверно.
— верно.
— неверно. 
является окружность с центром в точке 
Решением системы будут дуги окружности 
лежащие внутри области, являющейся решением неравенства 
Эти дуги выделены на рисунке цветом травы.
или при 
и радиусом 
определяет горизонтальную полосу 
или 
или 
откуда 
значит, 
Тогда получим систему
и радиусом 
задаваемой уравнением 
и двух лучей, задаваемых уравнением 
за исключением точки 
График второго уравнения представляет собой пучок прямых, проходящих через начало координат, с неотрицательным угловым коэффициентом.
график второго уравнения имеет с графиком первого уравнения две общие точки (на рисунке выделено зелёным), при 
прямая 
пересекает окружность в двух точках и пересекает один из лучей, то есть всего имеются три общие точки. При 
и пересекает один из лучей в точке 
то есть имеются две общие точки. При 
прямая 
Вернёмся к параметру a:
задаёт полосу, ограниченную горизонтальными прямыми 
и 
Уравнение в системе задаёт окружность радиусом 
с центром в точке 
Последнее означает, что центр окружности принадлежит гиперболе 
или 
Отсюда находим:
с центрами в точках 
и 
лежащих ниже и выше прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Количество корней равнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a. 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение не имеет корней.
при 
уравнение 
не имеет корней, поскольку его левая часть принимает неотрицательные значения, а правая — отрицательные. 
уравнение 
и 
уравнение 
принимает вид: 
с концами в точках (0; 0) и (1; −1). 
принимает вид: 
лежащую в полуплоскости 
с объединением дуг ω1 и ω2.
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
и 
в одной точке при 
и не пересекается при 
и 
и при 
прямая 
и 
но неверно определены промежутки значений a 
Решим уравнение:
подходят только 
причём каждому такому t, кроме 
соответствуют два различных значения x.
При 
сделаем замену переменных. Пусть 
и 
(см. рис., выделено оранжевым). График уравнения 
представляет собой совокупность горизонтальных прямых. При 
при 
получаем 
при 
получаем 
то есть при 
и 
делят плоскость на четыре части. Неравенству системы соответствует множество точек, отмеченных на рисунке салатовым цветом. Прямая 
пересекает окружность в точках 
и 
Прямая 
и 
где 
и 
Таким образом, графиком системы являются две дуги указанной окружности — дуга AB и дуга CD (выделено оранжевым).
и 
то есть при 
и 
исходное уравнение имеет два различных решения, а при других значениях параметра решений нет.
имеет ровно два корня на 
тогда
пересекающих ось ординат в точке 
В силу введённых обозначений справедливо равенство 
задающее в системе координат sOt единичную окружность с центром в точке О.
следует, что 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (⁎), имеют с единичной окружностью (⁎⁎) две точки пересечения, на дуге, для которой 
(см. рис., выделено оранжевым). Таким образом, исходная задача свелась к отысканию таких значений параметра, для которых 
(выделено зелёным) координаты точки 
и прямой 
получаем:
получаем:
задает окружность с центром в точке (3; −2) и радиусом 
В силу тождества 
окружность проходит через начало координат. Уравнение 
задает прямые, параллельные оси абсцисс. Поскольку x > 0, система имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда эти прямые имеют в правой относительно оси ординат полуплоскости ровно две точки пересечения с окружностью (см. рис.). 
и дуги окружности радиуса 2 с центром в точке 
лежащей не ниже прямой 
является пучок прямых, проходящих через точку 
и прямая 
и 
прямая 
— в точке D, при 
прямая 
— через точку С. Тогда исходная система
имеет одно решение;
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— одно решение.
или 
Снимая на этом промежутке знаки модулей, находим:
и 
тогда первое уравнение системы принимает вид 
откуда 
что не подходит. Если же 
то 
должно иметь ровно один корень. Запишем его в виде
то 
При 
Поскольку 
получаем:
а ветви параболы 
направлены вниз, следовательно, хотя бы одно решение будет, если
откуда:
вырождается в точку. Чтобы система имела хотя бы одно решение расстояние между центрами кругов должно быть не больше суммы их радиусов:
имеем:
имеем:
или 
при каждом из которых система уравнений 
(выделена оранжевым). Неравенство 
при отрицательных значениях параметра a не имеет решений, при 
и 
Система имеет ровно два решения, если ровно две точки пересечения прямых и окружности попадают в указанную полосу. Тогда 
система имеет ровно одно решение;
система имеет ровно два решения;
система имеет ровно три решения.