Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548388
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка a минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка a минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ,x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =4x плюс 6y конец си­сте­мы .

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка a минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка a минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ,x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =4x плюс 6y конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a минус x в квад­ра­те =a минус y в квад­ра­те ,a минус x в квад­ра­те боль­ше 0,x в квад­ра­те минус 4x плюс y в квад­ра­те минус 6y=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те =y в квад­ра­те ,a минус x в квад­ра­те боль­ше 0,x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 плюс y в квад­ра­те минус 6y плюс 9=13 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y=\pm x, минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та мень­ше x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та , левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =13. конец си­сте­мы .

Изоб­ра­зим линии, со­от­вет­ству­ю­щие урав­не­ни­ям и не­ра­вен­ствам си­сте­мы, в плос­ко­сти xOy. Урав­не­ния y=\pm x за­да­ют две пря­мые, про­хо­дя­щие через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Двой­ное не­ра­вен­ство минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та мень­ше x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та за­да­ют внут­рен­нюю часть вер­ти­каль­ной по­ло­сы, огра­ни­чен­ной пря­мы­ми x= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та и x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та . Урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =13 за­да­ет окруж­ность с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка 2; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния пря­мой y=x и окруж­но­сти: под­ста­вим y=x во вто­рое урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы. По­лу­чим: 2x в квад­ра­те =10x, то есть x=0 или x=5. Ана­ло­гич­но най­дем абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и пря­мой y= минус x. Имеем:2x в квад­ра­те = минус 2x, от­ку­да x=0 или x= минус 1.

Тем самым по­лу­че­ны абс­цис­сы трех точек x= минус 1, x=0, x=5, ко­то­рые могут быть ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы при усло­вии су­ще­ство­ва­ния ло­га­риф­мов. Тре­бу­ет­ся, чтобы (стро­го) внутрь по­ло­сы минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та мень­ше x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та , сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но оси ор­ди­нат, по­па­ли ровно две из трех этих точек. Это про­ис­хо­дит в точ­но­сти тогда, когда 1 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 5. Таким об­ра­зом, 1 мень­ше a мень­ше или равно 25.

 

Ответ: 1 мень­ше a мень­ше или равно 25.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка a минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка a минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше x в квад­ра­те , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y=x,y= минус x. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы с уче­том усло­вия y в квад­ра­те =x в квад­ра­те при­ни­ма­ет вид: x в квад­ра­те минус 2x минус 3y=0 левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка . Под­став­ляя в по­лу­чен­ное урав­не­ние y  =  x, по­лу­ча­ем x в квад­ра­те минус 5x=0, от­ку­да x_1=0, y_1=0 или x_2=5,y_2=5. Под­став­ляя в урав­не­ние (⁎) y = минус x, по­лу­ча­ем x в квад­ра­те плюс x=0, от­ку­да x_3=0,y_3=0 или x_4= минус 1, y_4=1.

Два раз­лич­ных ре­ше­ния си­сте­ма будет иметь в сле­ду­ю­щих трех слу­ча­ях:

си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 0,a боль­ше 25,a мень­ше или равно 1, конец си­сте­мы .       или      си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 0,a боль­ше 1,a мень­ше или равно 25, конец си­сте­мы .      или      си­сте­ма вы­ра­же­ний a\leqslant0,a боль­ше 25,a боль­ше 1. конец си­сте­мы .

Пер­вая и по­след­няя из по­лу­чен­ных си­стем не­сов­мест­ны, ре­ше­ни­ем вто­рой яв­ля­ют­ся 1 мень­ше a мень­ше или равно 25.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний а, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а2
Верно по­лу­че­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источники:
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Урав­не­ние окруж­но­сти
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025