Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548388

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус y в квадрате правая круглая скобка ,x в квадрате плюс y в квадрате =4x плюс 6y конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус y в квадрате правая круглая скобка ,x в квадрате плюс y в квадрате =4x плюс 6y конец системы . равносильно система выражений a минус x в квадрате =a минус y в квадрате ,a минус x в квадрате больше 0,x в квадрате минус 4x плюс y в квадрате минус 6y=0 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений x в квадрате =y в квадрате ,a минус x в квадрате больше 0,x в квадрате минус 4x плюс 4 плюс y в квадрате минус 6y плюс 9=13 конец системы . равносильно система выражений y=\pm x, минус корень из a меньше x меньше корень из a, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате =13. конец системы .

Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенствам системы, в плоскости xOy. Уравнения y=\pm x задают две прямые, проходящие через начало координат. Двойное неравенство  минус корень из a меньше x меньше корень из a задают внутреннюю часть вертикальной полосы, ограниченной прямыми x= минус корень из a и x= корень из a. Уравнение  левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате =13 задает окружность с центром в точке  левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка и радиусом  корень из 13.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой y=x и окружности: подставим y=x во второе уравнение исходной системы. Получим: 2x в квадрате =10x, то есть x=0 или x=5. Аналогично найдем абсциссы точек пересечения окружности и прямой y= минус x. Имеем:2x в квадрате = минус 2x, откуда x=0 или x= минус 1.

Тем самым получены абсциссы трех точек x= минус 1, x=0, x=5, которые могут быть решениями системы при условии существования логарифмов. Требуется, чтобы (строго) внутрь полосы  минус корень из a меньше x меньше корень из a, симметричной относительно оси ординат, попали ровно две из трех этих точек. Это происходит в точности тогда, когда 1 меньше корень из a меньше или равно 5. Таким образом, 1 меньше a меньше или равно 25.

 

Ответ: 1 меньше a меньше или равно 25.

 

Приведем другое решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a минус y в квадрате правая круглая скобка равносильно система выражений a больше x в квадрате , совокупность выражений y=x,y= минус x. конец системы . конец совокупности .

Второе уравнение системы с учетом условия y в квадрате =x в квадрате принимает вид: x в квадрате минус 2x минус 3y=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка . Подставляя в полученное уравнение y = x, получаем x в квадрате минус 5x=0, откуда x_1=0, y_1=0 или x_2=5,y_2=5. Подставляя в уравнение (⁎) y = минус x, получаем x в квадрате плюс x=0, откуда x_3=0,y_3=0 или x_4= минус 1, y_4=1.

Два различных решения система будет иметь в следующих трех случаях:

 система выражений a больше 0,a больше 25,a меньше или равно 1, конец системы .       или        система выражений a больше 0,a больше 1,a меньше или равно 25, конец системы .       или        система выражений a\leqslant0,a больше 25,a больше 1. конец системы .

Первая и последняя из полученных систем несовместны, решением второй являются 1 меньше a меньше или равно 25.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва, Задания 18 ЕГЭ–2020
Методы алгебры: Перебор случаев