Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 654406
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при каж­дом из ко­то­рых най­дет­ся такое число a, что си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний y = минус b минус x в квад­ра­те , x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 8 a в квад­ра­те = 4 плюс 4 a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

имеет хотя бы одно ре­ше­ние (x; y).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 8a в квад­ра­те = 4 плюс 4a левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4 ax плюс 4a в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 4 ay плюс 4a в квад­ра­те = 4 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 2 в квад­ра­те .

Гра­фи­ком урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром (2a; 2a) и ра­ди­у­сом 2. При всех а такие окруж­но­сти опи­сы­ва­ют по­ло­су, огра­ни­чен­ную ка­са­тель­ны­ми, па­рал­лель­ны­ми y = x. По­сколь­ку r = 2, по­лу­ча­ем:

2= дробь: чис­ли­тель: |0 минус 0 плюс d|, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но |d|=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но d= \pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

а зна­чит, y=x \pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Точки всех таких окруж­но­стей лежат не ниже пря­мой y = x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , а ветви па­ра­бо­лы y= минус b минус x в квад­ра­те на­прав­ле­ны вниз, сле­до­ва­тель­но, хотя бы одно ре­ше­ние будет, если

минус b минус x в квад­ра­те боль­ше или равно x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x плюс b минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 0.

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на, сто­я­ще­го в левой части не­ра­вен­ства, до­сти­га­ет­ся в точке x_в = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс b минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но b мень­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: b мень­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 454
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Урав­не­ние окруж­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026