Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 532057

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений  новая строка дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате минус 2x плюс 2y минус 6, знаменатель: корень из 2 минус |y минус x| конец дроби =0,  новая строка y минус ax=3a минус 3  конец системы .

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу графо-аналитическим способом. Преобразуем первое уравнение исходной системы:

 дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате минус 2x плюс 2y минус 6, знаменатель: корень из 2 минус |y минус x| конец дроби =0 равносильно система выражений x в квадрате плюс y в квадрате минус 2x плюс 2y минус 6=0,2 минус |y минус x| больше 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс y в квадрате плюс 2y плюс 1 минус 8=0,|y минус x| меньше 2 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =8, минус 2 меньше y минус x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =8,x минус 2 меньше y меньше x плюс 2. конец системы .

Преобразуем второе уравнение исходной системы:

y минус ax=3a минус 3 равносильно y= ax плюс 3a минус 3 равносильно y=a левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус 3.

Изобразим графики уравнений в системе координат xOy. Графиком первого уравнения исходной системы является та часть окружности с центром в точке  левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка и радиусом 2 корень из 2, которая принадлежит полосе между прямой y=x минус 2 и прямой y=x плюс 2. Соответствующие две дуги окружности выделены на рисунке синим цветом. Графиком второго уравнения исходной системы является пучок прямых, проходящих через точку  левая круглая скобка минус 3; минус 3 правая круглая скобка .

Требуется найти значения параметра a, при которых графики уравнений исходной системы имеют одну общую точку. Следовательно, система имеет ровно одно решение при

a_1 меньше a меньше или равно a_2, или a=a_3, или a=a_4,

где a_1 — угловой коэффициент прямой y=a левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус 3, проходящей через точку  левая круглая скобка минус 1; минус 3 правая круглая скобка (выделено оранжевым), a_2 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку  левая круглая скобка 3;1 правая круглая скобка (выделено фиолетовым), a_3 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку  левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка (выделено зелёным), a_4 — угловой коэффициент прямой y=a левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус 3, которая касается дуги окружности (выделено красным).

По графику получаем, что a_1=0, a_2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,a_3=2. Найдём a_4, используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки  левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка до прямой y=a левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус 3 должно равняться  корень из 8 , имеем:

 дробь: числитель: |a левая круглая скобка 1 плюс 3 правая круглая скобка плюс 1 минус 3|, знаменатель: корень из a в квадрате плюс 1 конец дроби = корень из 8 .

Откуда получаем:

 дробь: числитель: |2a минус 1|, знаменатель: корень из a в квадрате плюс 1 конец дроби = корень из 2 равносильно |2a минус 1|= корень из 2a в квадрате плюс 2 равносильно 4a в квадрате минус 4a плюс 1=2a в квадрате плюс 2 равносильно 2a в квадрате минус 4a минус 1=0 равносильно a=1\pm дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби .

По смыслу задачи a_4 больше 0, поэтому a_4=1 плюс дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби . Отметим также, что a_4=1 плюс дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби больше 2=a_3, значит, исходная система имеет ровно одно решение при 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , или a=2, или a=1 плюс дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 2; 1 плюс дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .

 

Примечание. дополнительно отметим, что исходная система не имеет решений при a\leqslant0 или a больше 1 плюс дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби , имеет два решения при  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше 2 или при 2 меньше a меньше 1 плюс дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301.