СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 532057

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Решение.

Решим задачу графо-аналитическим способом. Преобразуем первое уравнение исходной системы:

Преобразуем второе уравнение исходной системы:

Изобразим графики уравнений в системе координат Графиком первого уравнения исходной системы является та часть окружности с центром в точке и радиусом которая принадлежит полосе между прямой и прямой Соответствующие две дуги окружности выделены на рисунке синим цветом. Графиком второго уравнения исходной системы является пучок прямых, проходящих через точку

Требуется найти значения параметра a, при которых графики уравнений исходной системы имеют одну общую точку. Следовательно, система имеет ровно одно решение при

или или

где — угловой коэффициент прямой проходящей через точку (выделено оранжевым),  — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (выделено фиолетовым),  — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (выделено зелёным),  — угловой коэффициент прямой которая касается дуги окружности (выделено красным).

По графику получаем, что Найдём используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой должно равняться имеем:

Откуда получаем:

По смыслу задачи поэтому Отметим также, что значит, исходная система имеет ровно одно решение при или или

 

Ответ:

 

Примечание. дополнительно отметим, что исходная система не имеет решений при или имеет два решения при или при

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 301.