ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 520500 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений 2x в квадрате плюс 2y в квадрате =5xy, левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в квадрате =5a в степени 4 конец системы .$

имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение системы раскладывается на множители: $левая круглая скобка x минус 2y правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2x правая круглая скобка =0.$ Следовательно, уравнение задает пару прямых $x=2y$ и $y=2x.$

Второе уравнение при каждом $a не равно 0$   — уравнение окружности с центром $левая круглая скобка a, a правая круглая скобка$ и радиусом $a в квадрате корень из 5 .$

Если $a=0,$ то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

Если $a не равно 0,$ то условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых, то есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности. Получаем уравнение

$дробь: числитель: |a минус 2a|, знаменатель: корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: |a минус 2a|, знаменатель: корень из 5 конец дроби =a в квадрате корень из 5 равносильно a=\pm 0,2.$

Ответ: $a=\pm 0,2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 520500: 520520 520663 520704 Все

Классификатор алгебры: Уравнение окружности

Методы алгебры: Перебор случаев, Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь