СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 531310

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет четыре решения?

Решение.

Решим систему графически. В системе координат xOy графиком первого уравнения является ломаная — совокупность двух лучей, выходящих из точки с угловым коэффициентом (см. рис., выделено синим). Графиком второго уравнения является семейство окружностей с центром в точке и радиусом 2. В зависимости от значения параметра окружность и ломаная могут не иметь общих точек или иметь одну, две (на рисунке выделено оранжевым) , три (выделено красным) или четыре общие точки (на рисунке выделено зелёным).

Система имеет четыре решения при где a1 — абсцисса центра окружности, касающейся ломаной; a2 — абсцисса центра окружности, проходящей через точку и имеющей с ломаной три общих точки. Очевидно, что Найдём a1, используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой должно равняться радиусу окружности:

По смыслу задачи, поэтому

Тем самым система имеет четыре решения при

 

Ответ:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298.