ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 549676 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

$система выражений x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус 5a правая круглая скобка x плюс 4a в квадрате минус 2a меньше или равно 0, x в квадрате плюс a в квадрате = 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус левая круглая скобка 4a минус 2 плюс a правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка 4a минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x в квадрате плюс a в квадрате = 4 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4a плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате плюс a в квадрате = 4. конец системы .$ $система выражений x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус 5a правая круглая скобка x плюс 4a в квадрате минус 2a меньше или равно 0, x в квадрате плюс a в квадрате = 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус левая круглая скобка 4a минус 2 плюс a правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка 4a минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x в квадрате плюс a в квадрате = 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4a плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате плюс a в квадрате = 4. конец системы .$

Решим задачу графо-аналитическим методом. Изобразим решение неравенства $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4a плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0$ в плоскости $aOx.$ Прямые $x=a$ и $x=4a минус 2$ разбивают плоскость на четыре области, обозначенных римскими цифрами. В каждой из областей левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Установим, в каких областях неравенство верно, взяв пробные точки.

Область I, точка $левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка :$ $левая круглая скобка 3 минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 минус 4 умножить на 2 плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0$   — верно.

Область II, точка $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка :$ $левая круглая скобка 1 минус 0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус 4 умножить на 0 плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0$   — неверно.

Область III, точка $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка :$ $левая круглая скобка минус 1 минус 0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 минус 4 умножить на 0 плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0$   — верно.

Область IV, точка $левая круглая скобка 2;0 правая круглая скобка :$ $левая круглая скобка 0 минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 0 минус 4 умножить на 2 плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0$   — неверно.

Множество точек, являющихся решением первого неравенства системы, выделено на рисунке синим цветом.

В плоскости aOx графиком уравнения $x в квадрате плюс a в квадрате = 4$ является окружность с центром в точке $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ и радиусом $r=2.$ Решением системы будут дуги окружности $x в квадрате плюс a в квадрате = 4,$ лежащие внутри области, являющейся решением неравенства $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4a плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0.$ Эти дуги выделены на рисунке цветом травы.

Найдём значения параметра a для точек пересечения прямых с окружностью, из систем уравнений:

$левая фигурная скобка \beginaligned x=a, x в квадрате плюс a в квадрате =4\endaligned. \Rightarrow 2a в квадрате =4 равносильно совокупность выражений a= минус корень из 2 ,a= корень из 2 ; конец совокупности .$

$левая фигурная скобка \beginaligned x=4a минус 2, x в квадрате плюс a в квадрате =4 \endaligned.\Rightarrow левая круглая скобка 4a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =4 равносильно 17a в квадрате минус 16a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a= дробь: числитель: 16, знаменатель: 17 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при $минус корень из 2 меньше или равно a \leqslant0$ или при $дробь: числитель: 16, знаменатель: 17 конец дроби меньше или равно a меньше или равно корень из 2 .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус корень из 2 ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 16, знаменатель: 17 конец дроби ; корень из 2 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 321 (часть C)

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Уравнение окружности

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь