Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548429

Найдите все значения параметра a, при которых система

 система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 минус y в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 минус a в квадрате x в квадрате правая круглая скобка ,x в квадрате плюс y в квадрате =2x плюс 4y конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 минус y в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 минус a в квадрате x в квадрате правая круглая скобка ,x в квадрате плюс y в квадрате =2x плюс 4y конец системы . равносильно система выражений 16 минус y в квадрате =16 минус a в квадрате x в квадрате ,16 минус y в квадрате больше 0,x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=0 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений y в квадрате = левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате ,16 минус y в квадрате больше 0,x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс y в квадрате минус 4y плюс 4=5 конец системы . равносильно система выражений y=\pm ax, минус 4 меньше y меньше 4, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =5. конец системы .

Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенству системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений y=\pm ax задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при a=0 (см. рис., выделено красным). Двойное неравенство  минус 4 меньше y меньше 4 задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми y= минус 4 и y=4. Уравнение  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =5 задает окружность с центром в точке  левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка и радиусом  корень из 5 . Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями y=\pm ax, имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.

Заметим, что число решений системы при a=a_0 и a= минус a_0 одинаково. Искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим подробно случай a\geqslant0.

Точка  левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.

— Пересечению с дугой окружности прямой y= минус ax, если при этом прямая y=ax, не пересекает дугу в точке, отличной от точки  левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка . Этот случай реализуется при a\geqslant2.

— Пересечению совпадающих при a=0 прямых y=\pm ax с дугой окружности в точке (2; 0) — см. рис., выделено пурпурным.

— Пересечению с дугой окружности прямой y=ax, в том случае, когда прямая y= минус ax, является касательной, проходящей через точку  левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка . Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением y=kx. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой y=2x, содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым k умножить на 2 = минус 1, откуда k = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Следовательно, искомое уравнение касательной есть y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x, что соответствует значениям a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . При этом вторая прямая y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.

Объединяя полученные значения параметра с соответствующими отрицательными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при a\leqslant минус 2, a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a=0, a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a\geqslant2.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены значения, отличающиеся от искомого только исключением не более двух из пяти точек a = −2, a = −0,5, a = 0, a = 0,5,a = 2.3
С помощью верного рассуждения получены значения, отличающиеся от искомого только исключением более двух из пяти точек a = −2, a = −0,5, a = 0, a = 0,5, a = 2

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.

2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически).1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 18 ЕГЭ–2020