ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 509973 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=2|x плюс 2y минус 5|,2x минус y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1)  Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=2x плюс 4y минус 10 равносильно$

$равносильно x в квадрате минус 4x плюс y в квадрате минус 8y плюс 10 = 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =10.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

2)  Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате минус 4y=10 минус 2x минус 4y равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =10.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5  =  0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором  — дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка $C левая круглая скобка 2 корень из 2 ; минус корень из 2 правая круглая скобка$ лежит на дуге ω₂ и прямая OC перпендикулярна прямой O₁O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $a = минус 5 корень из 2$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $a=5 корень из 2$ прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При $минус 5 корень из 2 меньше a меньше минус 5$ или $5 меньше a меньше 5 корень из 2$ прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус 5 корень из 2$ или $a больше 5 корень из 2$ прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $минус 5 корень из 2 меньше a\leqslant минус 5$ или $5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .$

Ответ: $минус 5 корень из 2 меньше a\leqslant минус 5,5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5.	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 510104: 509973 513110 Все

Классификатор алгебры: Уравнение окружности

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Перебор случаев

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Ильнур Гильманов 12.02.2016 16:37

Как вы находите координаты точек? (например, точка С) и аналогично, значения параметра?

Константин Лавров

Это достаточно очевидно. C(x, y) — вершина прямоугольного треугольника, с гипотенузой $O_2C= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ , катетами x и -y и тангенсом угла при вершине $O_2$ равным 0,5.

Андрей Петров 09.01.2017 09:33

Как вы определили тангенс угла? Объясните подробнее.

Александр Иванов

Для прямой $y=kx плюс b$ угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой

Артем Ярош 21.02.2017 14:38

Почему вы взяли дуги, а не окружности?

Александр Иванов

Всё дело в модуле...