Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую 
2) Если 
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
3) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 1.
Таким образом, в первом случае мы получаем луч r с началом в точке 
во втором — прямую l, задаваемую уравнением в третьем — дугу 
окружности 
с концами в точках A и 
(см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, которая проходит через точку (−2; 0) и угловой коэффициент которой равен a.
Прямые m проходят через точки B и A при 
и 
соответственно.
При 
и 
прямые m касаются дуги 
Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, пересекает луч r при 
имеет одну общую точку с дугой при 
и 
имеет две общие точки с дугой при 
и 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l, луча r и дуги ω с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
Мне не ясно откуда взялись значения a = sqrt(3)/3 и -sqrt(3)/3. По моим расчётам они равны: 2/sqrt(5) и -2/sqrt(5) (из теоремы Пифагора)
Алексей, в решении этот момент не разобран, но значения указаны верные.
Для нахождения этих значений можно воспользоваться
- площадью треугольника
- формулой расстояния от точки до прямой
В ответах так же должно получится 1/2 .Если нет ,то почему?
При а=1/2 только два корня. (0;1) является общей точкой для дуги, вертикальной прямой и луча
все ответы тогда неправильные , так как обязательно есть корень (2,0) , в точке касания с окружностью корень и в точке пересечения с прямой , а в вашем решение получается 4 корня , что не соответствует условию
Егор, Вы запутались.
Посмотрите на рисунок.
Графиком первого уравнения являются синие линии.
График второго уравнения пучок прямых, проходящих через точку (-2;0) (красные и зеленая).
Решениями системы являются точки пересечения "синего" с "красным"("зелёным")
"Покрутите" красную прямую и посчитайте количество пересечений с синим графиком
На рисунке у "красных" линий по две точки пересечения, а у "зеленой" - три