Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514740

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений x(x в квадрате плюс y в квадрате плюс y минус x минус 2) = |x|(x в квадрате плюс y в квадрате минус y плюс x),y=a(x плюс 2) конец системы .

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если x больше 0, то получаем уравнение

x(x в квадрате плюс y в квадрате плюс y минус x минус 2) = x(x в квадрате плюс y в квадрате минус y плюс x) равносильно 2y минус 2x минус 2 = 0 равносильно y = x плюс 1.

Полученное уравнение задаёт прямую y=x плюс 1.

2) Если x=0, то координаты любой точки прямой x=0 удовлетворяют уравнению.

3) Если x меньше 0, то получаем уравнение

x(x в квадрате плюс y в квадрате плюс y минус x минус 2) = x(y минус x минус x в квадрате минус y в квадрате ) равносильно 2x в квадрате плюс 2y в квадрате минус 2 = 0 равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =1.

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0;0) и радиусом 1.

Таким образом, в первом случае мы получаем луч r с началом в точке A(0;1), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x=0, в третьем — дугу \omega окружности x в квадрате плюс y в квадрате =1 с концами в точках A и B(0; минус 1) (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, которая проходит через точку (−2; 0) и угловой коэффициент которой равен a.

Прямые m проходят через точки B и A при a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби соответственно.

При a= минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби и a= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби прямые m касаются дуги \omega.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, пересекает луч r при  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше 1, имеет одну общую точку с дугой \omega при a= минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби ,  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и a = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби , имеет две общие точки с дугой \omega при  минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби .

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l, луча r и дуги ω с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

 минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения полученно множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 3
C помощью верного рассуждения получен промежуток  левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка множества значений a, возможно, с включением граничных точек2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуги окружности, луча и прямых (аналитически или графически)

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 514524: 514740 514552 514559 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016
Классификатор алгебры: Уравнение окружности
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Алексей Шиликовский 07.01.2017 13:00

Мне не ясно откуда взялись значения a = sqrt(3)/3 и -sqrt(3)/3. По моим расчётам они равны: 2/sqrt(5) и -2/sqrt(5) (из теоремы Пифагора)

Александр Иванов

Алексей, в решении этот момент не разобран, но значения указаны верные.

Для нахождения этих значений можно воспользоваться

- площадью треугольника  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на 2|a|= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 умножить на корень из (2 в квадрате плюс (2a) в квадрате )

- формулой расстояния от точки до прямой  дробь: числитель: |2a|, знаменатель: корень из (a в квадрате плюс 1 в квадрате ) конец дроби =1

Егор Юрков 10.01.2017 18:56

В ответах так же должно получится 1/2 .Если нет ,то почему?

Александр Иванов

При а=1/2 только два корня. (0;1) является общей точкой для дуги, вертикальной прямой и луча

Егор Юрков 11.01.2017 10:22

все ответы тогда неправильные , так как обязательно есть корень (2,0) , в точке касания с окружностью корень и в точке пересечения с прямой , а в вашем решение получается 4 корня , что не соответствует условию

Александр Иванов

Егор, Вы запутались.

Посмотрите на рисунок.

Графиком первого уравнения являются синие линии.

График второго уравнения пучок прямых, проходящих через точку (-2;0) (красные и зеленая).

Решениями системы являются точки пересечения "синего" с "красным"("зелёным")

"Покрутите" красную прямую и посчитайте количество пересечений с синим графиком

На рисунке у "красных" линий по две точки пересечения, а у "зеленой" - три