Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548407

При каких значениях a система

 система выражений корень из 16 минус y в квадрате = корень из 16 минус a в квадрате x в квадрате ,x в квадрате плюс y в квадрате =6x плюс 4y конец системы .

имеет ровно два решения?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений корень из 16 минус y в квадрате = корень из 16 минус a в квадрате x в квадрате ,x в квадрате плюс y в квадрате =6x плюс 4y конец системы . равносильно система выражений 16 минус y в квадрате больше или равно 0, 16 минус y в квадрате =16 минус a в квадрате x в квадрате ,x в квадрате минус 6x плюс y в квадрате минус 4y = 0 конец системы . равносильно система выражений минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4, y=\pm ax, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =13. конец системы .

Изобразим линии, соответствующие предложениям системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений y=\pm ax задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при a=0. Двойное неравенство  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми y= минус 4 и y=4, включая границы. Уравнение  левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =13 задает окружность с центром в точке  левая круглая скобка 3; 2 правая круглая скобка и радиусом  корень из 13. Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями y=\pm ax, имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.

Точка  левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.

— Пересечению совпадающих при a=0 прямых y=\pm ax с дугой окружности в точке (6; 0) — см. рис., выделено пурпурным.

— Пересечению с дугой окружности одной из прямых в том случае, когда другая прямая является касательной, проходящей через точку  левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка . Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением y=kx. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x, содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым k умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = минус 1, откуда k = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Следовательно, искомое уравнение касательной есть y= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x, что соответствует значениям a=\pm дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . При этом вторая прямая y= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x не пересекает дугу окружности в точке, отличной от начала координат, а значит, найденные значения параметра не являются искомыми.

— Пересечению с дугой окружности одной из прямых, если при этом вторая прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки  левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка . Этот случай реализуется при a больше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби или при a меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , за исключением ранее отброшенных точек a=\pm дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Краснодар, Задания 18 ЕГЭ–2020
Методы алгебры: Перебор случаев