Решите систему неравенств 
Решение. Рассмотрим первое неравенство системы. Поскольку 
перепишем это неравенство так: 
Разделим обе части последнего неравенства на 
Введем новую переменную. Пусть 
Тогда:
Перейдем к переменной 
Решения первого неравенства системы: 
Решим второе неравенство системы. Ограничения на 
В левой части неравенства перейдем к логарифмам по основанию 2:
Пусть 
тогда
Полученное неравенство решим методом интервалов.
| Интервалы |  |  |  |  |  |
| Знак рационального выражения на интервалах | + | − | + | − | + |
Получили: 
Перейдем к переменной
Решения второго неравенства системы: 
Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:
Искомым пересечением является множество 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
то 
решения рассматриваемого неравенства: 
Для таких значений x будем иметь:
на множестве 
Очевидно, искомыми значениями переменной будут элементы множества 
Ясно, что пересечением решений обоих неравенств системы будет множество 
На этом множестве будем иметь: 
Тогда: 
То есть:
Пересечение решений обоих неравенств системы: 
решений не имеет.
На этом множестве:
верно. В таком случае решениями заданной системы будут элементы множества 
следовательно, второе неравенство системы решений не имеет. А это значит, что исследование первого неравенства той же системы не имеет никакого смысла, у системы решений нет.
тогда заданное неравенство будет иметь вид: 
Известно, что для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство треугольника: 
Следовательно, в нашем случае рассматриваемое неравенство будет иметь место только в том случае, если выполняется равенство 
Но такое возможно, при одном условии: либо a и b оба неотрицательны, либо оба неположительны, т. е. справедливо неравенство 
достаточно показать, что 
и 
(неравенство очевидное). 
решений не имеет.
Получим:
Действительно, 
и 
являются взаимно обратными. Второе из них имеет смысл при выполнении условия 
т. е. при 
Следовательно, решения первого неравенства системы следует искать на множестве 
Тогда первое неравенство примет вид: 
или 
Найдем корни левой части этого неравенства:
Будем иметь:
(неравенство очевидное).
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
выполняются неравенства: 
Следовательно, на множестве 
которое равносильно неравенству 
Решим последнее неравенство:
будут выполнены неравенства: 
следовательно, последняя система примет вид: 
что равносильно неравенству 
Если рассмотреть второе неравенство на множестве 
то получим аналогичный результат только с той разницей, что 
и придём к системе неравенств 
что, в свою очередь, равносильно неравенству 
Таким образом, решения исходной системы 
Далее:
Таким образом, множество решений первого неравенства системы 
Теперь рассмотрим второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства. Легко заметить, что при выполнении условия 
также выполняются неравенства:
В таком случае:
Однако, четверть его дискриминанта меньше нуля 
т. е. второе неравенство системы невыполнимо ни при каких значениях переменной. Отсюда вывод — система несовместна.
Логарифмы приведём к основанию 2. Получим: 
Решим его на полученном множестве 
то последнее неравенство равносильно неравенству 
откуда 
С учетом ограничений на x получим: 
и на 
при таких 
т. е. 
для таких 
на множестве 
будем считать равносильным, поскольку умножение обеих частей этого неравенства на положительное выражение 
приводит к равносильному неравенству 
и 
выражение 
можно заменить выражением 
имеющим тот же знак, что и 
Тогда будем иметь: 
тогда 
Разделим обе части неравенства на 
Получим: 
(решений нет).
Для таких значений x рассматриваемое неравенство будет иметь вид: 
являются взаимно обратными. По свойству взаимно обратных чисел возможны два случая:
Пересечение решений обоих неравенств системы: 
то далее нам достаточно решить неравенство 
Решения последнего неравенства: 
что удовлетворяет условию 
Решения первого неравенства системы — множество 
и 
противоположны, то, очевидно, что 
для всех 
Известно, что для любого положительного числа справедливо неравенство 
Поскольку нам задано неравенство вида 
то нам следует решить уравнение 
А такое равенство возможно лишь при выполнении условия 
не принадлежит множеству 
можно вести и так: прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
Найдем значения x, при которых числитель обращается в нуль, т. е. решения уравнения 
Уравнение решим методом рационализации:
то 4 – единственный корень рассматриваемого уравнения. При 
числитель левой части первого неравенства положительна. Теперь нам надо найти значения x, при которых знаменатель будет положительным. Решениями неравенства 
является множество 
С учетом ограничений на x решения первого неравенства системы: 
имеем: 
Значит, 
т. е. на этом множестве выражение 
принимает только положительные значения. Следовательно, дальнейшее исследование второго неравенства сводится к решению более простого неравенства: 
значит, 
следовательно, 
значит, дальнейшая наша задача — рассмотрение неравенства 
на множестве 
то
Докажем, что значение этого выражения отрицательно. Действительно, 
(верное неравенство).
для 
что было использовано при решении второго неравенства, легко выводимо. Для доказательства достаточно обе части равенства прологарифмировать по 
(неравенство верно). 
поскольку 
решения первого неравенства системы — справедливы неравенства 
Следовательно,
на указанном множестве. Тогда на этом же множестве решения неравенства (*) есть множество 
Тогда 
Далее будем иметь: 
Поскольку 
то 
(неравенство очевидное).
(неравенство очевидное). 
Получим: 
Ясно, что при этом также должны выполняться условия: 
Для таких x:
Пусть 
Тогда 
или 
Перейдя к переменной x, будем иметь: 
или 
Решим данные неравенства:
Для таких x:
Тогда:
были найдены ранее. Далее будем иметь: 
то:
и 
Докажем, что 
Действительно, 
решений не имеет. 
Для таких 
тогда: 
Найдем корни квадратного трехчлена 
будем решать методом интервалов.
или 
Перейдем к переменной 
докажем, что 
(неравенство очевидное).
не будет выполняться ни при каких значениях x, удовлетворяющих условию 
так как при этих значениях переменной левая часть неравенства будет строго положительной. Поскольку первое неравенство решений не имеет, в решении второго неравенства системы смысла нет.
(неравенство очевидное).
Для таких 
Для таких 
поскольку 
тогда:
имеем: 
Для таких x второе неравенство системы равносильно неравенству 
Отсюда ясно, что решение исходной системы следует искать только на множестве положительных чисел, т. е. оно будет подмножеством множества 
Докажем, что 
