Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505708
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 25 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус x минус 30 умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, новая стро­ка \log _4x2x плюс \log _2x в квад­ра­те 4x в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. По­сколь­ку 25 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус x=5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x, пе­ре­пи­шем это не­ра­вен­ство так: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 30 умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0. Раз­де­лим обе части по­след­не­го не­ра­вен­ства на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0:

5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 2x минус 3 минус 30 умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 3 плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 125 умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4x минус 6 минус 30 умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 3 плюс 1 боль­ше или равно 0.

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 3=t, t боль­ше 0. Тогда:

125t в квад­ра­те минус 30t плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби , новая стро­ка t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 3 мень­ше или равно 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x минус 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 1 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2x минус 3 боль­ше или равно 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x минус 2 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка x боль­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Огра­ни­че­ния на x: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби новая стро­ка x не равно \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы ..

В левой части не­ра­вен­ства пе­рей­дем к ло­га­риф­мам по ос­но­ва­нию 2:

дробь: чис­ли­тель: \log _22x, зна­ме­на­тель: \log _24x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: \log _24x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \log _22x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \log _22 плюс \log _2x, зна­ме­на­тель: \log _24 плюс \log _2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: \log _24 плюс 2\log _2x, зна­ме­на­тель: \log _22 плюс 2\log _2x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 плюс \log _2x, зна­ме­на­тель: 2 плюс \log _2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2\log _2x, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2\log _2x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 0.

Пусть \log _2x=t, тогда

дробь: чис­ли­тель: t плюс 1, зна­ме­на­тель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2t плюс 2, зна­ме­на­тель: 2t плюс 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t плюс 2 конец дроби плюс 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2t плюс 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2t плюс 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t плюс 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2t плюс 4 минус 4t минус 2 минус 2t в квад­ра­те минус 5t минус 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 2t в квад­ра­те минус 7t, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния на ин­тер­ва­лах+−+−+

 

По­лу­чи­ли: t мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , минус 2 мень­ше t мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , t боль­ше или равно 0. Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

\log _2x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \log _2x мень­ше или равно \log _22 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;

 

минус 2 мень­ше \log _2x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \log _22 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше \log _2x мень­ше \log _22 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше x мень­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

\log _2x боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но \log _2x боль­ше или равно \log _21 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 1.

 

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Най­дем пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы:

 

 

Ис­ко­мым пе­ре­се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 59
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025