ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д13 C3 № 505938 Добавить в вариант

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби плюс 3 умножить на 6 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 4 умножить на 9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби , новая строка \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \left| x минус 2 | минус \log _2 минус x3 меньше или равно 2. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Решим первое неравенство системы. Сделаем замену переменной. Пусть $дробь: числитель: x в квадрате минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби =t,$ тогда $4 в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка плюс 3 умножить на 6 в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка минус 4 умножить на 9 в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка больше или равно 0.$ Разделим обе части неравенства на $9 в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка больше 0.$ Получим:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0; левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка меньше или равно минус 4$ (решений нет).

$левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка больше или равно 1 равносильно t меньше или равно 0.$

Теперь решим неравенство

$дробь: числитель: x в квадрате минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно x в квадрате меньше или равно 2 равносильно минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Итак, решением первого неравенства является множество $левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Рассмотрим второе неравенство. Найдем ограничения на $x:$ $система выражений новая строка x меньше 2, новая строка x не равно 1. конец системы .$

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка |x минус 2| минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка 3 меньше или равно 2.$

При $x меньше 2,$ $x не равно 1 x минус 2 меньше 0,$ $\left| x минус 2 |=2 минус x.$ Для таких значений x рассматриваемое неравенство будет иметь вид:

$\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2.$

Числа $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка и дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка конец дроби$ являются взаимно обратными. По свойству взаимно обратных чисел возможны два случая:

1)   $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка =1 равносильно 2 минус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно x=2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

2)   $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше 0 равносильно 2 минус x больше 1 равносильно x меньше 1.$

Таким образом, решениями второго неравенства является множество $левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$ Пересечение решений обоих неравенств системы: $левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;1 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;1 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16

Классификатор алгебры: Уравнение с модулем

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.2 Рациональные уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь