Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505804
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 11 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1. конец си­сте­мы

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Найдём огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0, новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x боль­ше 0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0, новая стро­ка x боль­ше 1. конец си­сте­мы рав­но­силь­но x боль­ше 1.

Для таких x:

1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

По ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству будем иметь: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби . Далее:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 7 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 11.

По­след­нее не­ра­вен­ство спра­вед­ли­во лишь при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Таким об­ра­зом, мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Те­перь рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства. Легко за­ме­тить, что при вы­пол­не­нии усло­вия x боль­ше 1 также вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства:

дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби боль­ше 0, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби не равно 1, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4x минус 1 конец дроби боль­ше 0.

Далее вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции. Имеем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \left дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4x минус 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 2 минус 3x минус 1, зна­ме­на­тель: 3x плюс 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6x плюс 2 минус 8x плюс 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 4x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби конец си­сте­мы рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус 3x, зна­ме­на­тель: x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 минус 2x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец дроби конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби . конец си­сте­мы

Для всех x боль­ше 1 также вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0, x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше 0. В таком слу­чае:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка x минус 2 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 1, новая стро­ка x боль­ше или равно 2 конец си­сте­мы рав­но­силь­но x боль­ше или равно 2.

Итак, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы  — мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 75
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025