Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 506004
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2, зна­ме­на­тель: \log _9x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: \log _x3 конец дроби плюс 2. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше минус 1 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти ..

Не­ра­вен­ство 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше минус 1 ре­ше­ний не имеет. 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы есть мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x: си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0 x не равно 1 конец си­сте­мы .. Для таких x:

дробь: чис­ли­тель: \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2, зна­ме­на­тель: \log _9x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: \log _x3 конец дроби плюс 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7\log _3x плюс 2, зна­ме­на­тель: 3\log _3x конец дроби минус 5\log _3x минус 2 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7\log _3x плюс 2 минус 15 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 6\log _3x, зна­ме­на­тель: \log _3x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 15 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус \log _3x минус 2, зна­ме­на­тель: \log _3x конец дроби мень­ше или равно 0.

Пусть \log _3x=t, тогда: дробь: чис­ли­тель: 15t в квад­ра­те минус t минус 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0. Най­дем корни квад­рат­но­го трех­чле­на 15t в квад­ра­те минус t минус 2. t_1,2= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 120 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 30 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1\pm 11, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби , t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби или t= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0 будем ре­шать ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

 

 

Итак: t мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби или 0 мень­ше t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

\log _3x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . 0 мень­ше \log _3x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но \log _31 мень­ше \log _3x мень­ше или равно \log _33 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше или равно ко­рень 5 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 конец ар­гу­мен­та .

Пре­жде чем пе­ре­сечь ре­ше­ний обоих не­ра­венств, срав­ним числа: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , до­ка­жем, что дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 рав­но­силь­но 3 мень­ше 8 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; ко­рень 5 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; ко­рень 5 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 27
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025