Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C3 № 506004

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка {{3} в степени x } минус {{3} в степени дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 минус x } больше корень из { 3} минус 1,  новая строка дробь, числитель — {{\log }_{ дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , знаменатель — } левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — {{x в степени 7 }} правая круглая скобка плюс 2}{{{\log }_{9}}{{x} в степени 6 }} больше или равно дробь, числитель — 5, знаменатель — {{\log _{x}}3} плюс 2. конец системы .

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы:

{{3} в степени x } минус {{3} в степени дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 минус x } больше корень из { 3} минус 1 равносильно {{3} в степени x } минус дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — {{3 в степени x }} минус ( корень из { 3} минус 1) больше 0 равносильно {{3} в степени 2x } минус ( корень из { 3} минус 1) умножить на {{3} в степени x } плюс корень из { 3} умножить на ( минус 1) больше 0 равносильно совокупность выражений {{3} в степени x } меньше минус 1 {{3} в степени x } больше корень из { 3} конец совокупности ..

Неравенство {{3} в степени x } меньше минус 1 решений не имеет. {{3} в степени x } больше корень из { 3} равносильно {{3} в степени x } больше {{3} в степени дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 } равносильно x больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Итак, решения первого неравенства системы есть множество  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Теперь рассмотрим второе неравенство системы. Найдем ограничения на x:  система выражений x больше 0 x не равно 1 конец системы .. Для таких x:

 дробь, числитель — {{\log }_{ дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , знаменатель — } левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — {{x в степени 7 }} правая круглая скобка плюс 2}{{{\log }_{9}}{{x} в степени 6 }} больше или равно дробь, числитель — 5, знаменатель — {{\log _{x}}3} плюс 2 равносильно дробь, числитель — 7{{\log }_{3}}x плюс 2, знаменатель — 3{{\log _{3}}x} минус 5{{\log }_{3}}x минус 2 больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — 7{{\log }_{3}}x плюс 2 минус 15\log _{3} в степени 2 минус 6{{\log }_{3}}x, знаменатель — {{\log _{3}}x} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 15\log _{3} в степени 2 минус {{\log }_{3}}x минус 2, знаменатель — {{\log _{3}}x} меньше или равно 0.

Пусть {{\log }_{3}}x=t, тогда:  дробь, числитель — 15{{t} в степени 2 } минус t минус 2, знаменатель — t меньше или равно 0. Найдем корни квадратного трехчлена 15{{t} в степени 2 } минус t минус 2. {{t}_{1,2}}= дробь, числитель — 1\pm корень из { 1 плюс 120}, знаменатель — 30 = дробь, числитель — 1\pm 11, знаменатель — 30 , t= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 или  t= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 .

Неравенство  дробь, числитель — левая круглая скобка t плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 правая круглая скобка , знаменатель — { t} меньше или равно 0 будем решать методом интервалов.

 

 

Итак: t меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 или 0 меньше t меньше или равно дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 . Перейдем к переменной x:

{{\log }_{3}}x меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 равносильно 0 меньше x меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{3 }. 0 меньше {{\log }_{3}}x меньше или равно дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 равносильно {{\log }_{3}}1 меньше {{\log }_{3}}x меньше или равно {{\log }_{3}}{{3} в степени дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 } равносильно 1 меньше x меньше или равно {{3} в степени дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 } равносильно 1 меньше x меньше или равно корень из [ 5]{9}.

Прежде чем пересечь решений обоих неравенств, сравним числа:  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 и дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{3 }, докажем, что  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{3 }.

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{3 } равносильно корень из [ 3]{3} меньше 2 равносильно 3 меньше 8 (неравенство очевидное).

Пересечением решений обоих неравенств системы является множество  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{3 } правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из [ 5]{9} правая квадратная скобка .

 

Ответ: левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{3 } правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из [ 5]{9} правая квадратная скобка

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 27.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Системы неравенств
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.2.9 Метод интервалов