Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505968
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 11 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 31, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 конец дроби боль­ше или равно 5, \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пусть 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =t, t боль­ше 0. Тогда 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =9 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =9t в квад­ра­те . Далее будем иметь:

дробь: чис­ли­тель: 11t минус 31, зна­ме­на­тель: 36t в квад­ра­те минус 11t минус 5 конец дроби минус 5 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 11t минус 31 минус 180t в квад­ра­те плюс 55t плюс 25, зна­ме­на­тель: 36t в квад­ра­те минус 11t минус 5 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 180t в квад­ра­те минус 66t плюс 6, зна­ме­на­тель: 36t в квад­ра­те минус 11t минус 5 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 30t в квад­ра­те минус 11t плюс 1, зна­ме­на­тель: 36t в квад­ра­те минус 11t минус 5 конец дроби мень­ше или равно 0.

Раз­ло­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель левой части по­след­не­го не­ра­вен­ства на ли­ней­ные мно­жи­те­ли:

30t в квад­ра­те минус 11t плюс 1=0; t_1,2= дробь: чис­ли­тель: 11\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 121 минус 120 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 121 минус 120 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби =;t_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , t_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

36t в квад­ра­те минус 11t минус 5=0; t_3,4= дробь: чис­ли­тель: 11\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 121 плюс 720 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 72 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 841 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 72 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11\pm 29, зна­ме­на­тель: 72 конец дроби ;t_3= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , t_4= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Итак, имеем: дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0. По­сколь­ку t боль­ше 0, то дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец дроби мень­ше или равно 0.

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

 

 

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _3 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x мень­ше или равно минус \log _32. дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _3 дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _3 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но \log _3 дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше \log _3 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 1 минус \log _35 мень­ше или равно x мень­ше \log _35 минус 1.

Итак, ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус \log _32 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус \log _35;\log _35 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x плюс 2 боль­ше 0, новая стро­ка x плюс 2 не равно 1, новая стро­ка 2x в квад­ра­те плюс x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше минус 2, новая стро­ка x не равно минус 1, новая стро­ка 2x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше минус 2, новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x боль­ше 0, конец си­сте­мы . новая стро­ка x не равно минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка минус 2 мень­ше x мень­ше минус 1, новая стро­ка минус 1 мень­ше x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

Для таких x:

\log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс x минус x в квад­ра­те минус 4x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Так как x не равно минус 1, то

левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но x минус 4 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но x мень­ше или равно 4.

Но с уче­том огра­ни­че­ний на x будем иметь: минус 2 мень­ше x мень­ше минус 1, минус 1 мень­ше x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 0 мень­ше x мень­ше или равно 4.

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства есть мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы най­дем пе­ре­се­кая ре­ше­ния пер­во­го и вто­ро­го не­ра­венств. Но пре­жде до­ка­жем не­ра­вен­ства: минус 1 мень­ше минус \log _32 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1 минус \log _35 мень­ше 0, 0 мень­ше \log _35 минус 1 мень­ше 4.

минус 1 мень­ше минус \log _32 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше \log _32 мень­ше 1 рав­но­силь­но \log _3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше \log _32 мень­ше \log _33 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 мень­ше 3 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 3 мень­ше 4 мень­ше 9 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

 

минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1 минус \log _35 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус \log _35 мень­ше минус 1 рав­но­силь­но 1 мень­ше \log _35 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но \log _33 мень­ше \log _35 мень­ше \log _33 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 3 мень­ше 5 мень­ше 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 9 мень­ше 25 мень­ше 27 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

 

0 мень­ше \log _35 минус 1 мень­ше 4 рав­но­силь­но 1 мень­ше \log _35 мень­ше 5 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Ис­ко­мое пе­ре­се­че­ние: левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус \log _32 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;\log _35 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус \log _32 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;\log _35 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505774: 505968 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 21
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025