Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505944
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка \log _x плюс 5 левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _4 минус x левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, новая стро­ка \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. В левой части не­ра­вен­ства пе­рей­дем к ло­га­риф­мам по ос­но­ва­нию 2. Далее будем поль­зо­вать­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции:

дробь: чис­ли­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _21, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _21 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _21, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _21 конец дроби боль­ше или равно 0.

Най­дем не­ко­то­рые огра­ни­че­ния на x: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше 6, новая стро­ка x боль­ше минус 5, новая стро­ка x боль­ше минус 3, новая стро­ка x мень­ше 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше 4, x боль­ше минус 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 3 мень­ше x мень­ше 4.

Для таких x:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 6 минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Так как при всех x, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству минус 3 мень­ше x мень­ше 4, x минус 5 мень­ше 0, x плюс 4 боль­ше 0, то далее нам до­ста­точ­но ре­шить не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: x плюс 2, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби мень­ше или равно 0. Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства: левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка , что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию минус 3 мень­ше x мень­ше 4. Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы  — мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку x плюс 1 и минус x минус 1 про­ти­во­по­лож­ны, то, оче­вид­но, что \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 для всех x не равно минус 3. Из­вест­но, что для лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го числа спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби боль­ше или равно 2. По­сколь­ку нам за­да­но не­ра­вен­ство вида a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби мень­ше или равно 2, то нам сле­ду­ет ре­шить урав­не­ние \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =2. А такое ра­вен­ство воз­мож­но лишь при вы­пол­не­нии усло­вия \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1,x не равно минус 3.

Решим по­след­нее урав­не­ние ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции:

\left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1; левая круг­лая скоб­ка \left| 2x минус 6 | минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка \left| 2x минус 6 |=1, новая стро­ка x= минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 2x минус 6=1, новая стро­ка 2x минус 6= минус 1, новая стро­ка x= минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=3,5, новая стро­ка x=2,5, новая стро­ка x= минус 1. конец со­во­куп­но­сти .

Зна­че­ние x=3,5 не при­над­ле­жит мно­же­ству левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1;2,5 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние урав­не­ния \left| 2x минус 6 | в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 можно вести и так: про­ло­га­риф­ми­ру­ем обе части урав­не­ния по ос­но­ва­нию 2:

левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x плюс 1=0, новая стро­ка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус 1, новая стро­ка \left| 2x минус 6 |=1. конец со­во­куп­но­сти .

Далее ре­ше­ние ве­дет­ся, как по­ка­за­но выше.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1;2,5 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025