Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505756
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно минус 1, новая стро­ка 6\log _2xx плюс 2\log _4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _211 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _211 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус \log _211 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно 1, новая стро­ка x боль­ше \log _211 конец со­во­куп­но­сти . .

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка \log _211; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно 0,5, новая стро­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та не равно 1, новая стро­ка x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно 0,5, новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та не равно 0,25, новая стро­ка x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно 0,5, новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые зна­че­ния x могут при­над­ле­жать толь­ко мно­же­ству левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . На этом мно­же­стве будем иметь:

дробь: чис­ли­тель: 6\log _2x, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2\log _2 левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6\log _2x, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка \log _2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \log _2x плюс 2 конец дроби минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6\log _2x, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4\log _2x плюс 4, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 4 конец дроби минус 1 боль­ше или равно 0.

Пусть \log _2x=t. Тогда:

дробь: чис­ли­тель: 6t, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4t плюс 4, зна­ме­на­тель: t плюс 4 конец дроби минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6t в квад­ра­те плюс 24t плюс 4t в квад­ра­те плюс 4t плюс 4t плюс 4 минус t в квад­ра­те минус 5t минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9t в квад­ра­те плюс 27t, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

По­лу­чи­ли: t мень­ше минус 4, минус 3 мень­ше или равно t мень­ше минус 1, t боль­ше или равно 0. То есть:

\log _2x мень­ше минус 4 рав­но­силь­но x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ; минус 3 мень­ше или равно \log _2x мень­ше минус 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;\log _2x боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 1.

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства с уче­том огра­ни­че­ний на x: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка \log _211; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка \log _211; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 67
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025