Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C3 № 505756

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка дробь, числитель — {{4} в степени x } плюс 5, знаменатель — {{2 в степени x } минус 11} больше или равно минус 1,  новая строка 6{{\log }_{2x}}x плюс 2{{\log }_{4 корень из { x}}}(2x) больше или равно 1. конец системы .

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы:

 дробь, числитель — {{4} в степени x } плюс 5, знаменатель — {{2 в степени x } минус 11} больше или равно минус 1 равносильно дробь, числитель — {{2} в степени 2x } плюс 5, знаменатель — {{2 в степени x } минус 11} плюс 1 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — {{2} в степени 2x } плюс 5 плюс {{2} в степени x } минус 11, знаменатель — {{2 в степени x } минус 11} больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — {{2} в степени 2x } плюс {{2} в степени x } минус 6, знаменатель — {{2 в степени x } минус 11} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — ({{2} в степени x } минус 2) умножить на ({{2} в степени x } плюс 3), знаменатель — {{2 в степени x } минус {{2} в степени {{\log _{2}}11}}} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 2, знаменатель — {{2 в степени x } минус {{2} в степени {{\log _{2}}11}}} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x минус {{\log _{2}}11} больше или равно 0 равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше или равно 1,  новая строка x больше {{\log }_{2}}11 конец совокупности . .

Решения первого неравенства системы:  левая круглая скобка минус принадлежит fty ;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка {{\log }_{2}}11; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на x:

 система выражений  новая строка x не равно 0,5,  новая строка 4 корень из { x} не равно 1,  новая строка x больше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x не равно 0,5,  новая строка корень из { x} не равно 0,25,  новая строка x больше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x не равно 0,5,  новая строка x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 ,  новая строка x больше 0. конец системы .

Таким образом, искомые значения x могут принадлежать только множеству  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . На этом множестве будем иметь:

 дробь, числитель — 6{{\log }_{2}}x, знаменатель — {{\log _{2}}(2x)} плюс дробь, числитель — 2{{\log }_{2}}(2x), знаменатель — {{\log _{2}}(4 корень из { x})} минус 1 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 6{{\log }_{2}}x, знаменатель — {{\log _{2}}x плюс 1} плюс дробь, числитель — 2({{\log }_{2}}x плюс 1), знаменатель — дробь, числитель — 1 {2, знаменатель — { {\log }_{2}}x плюс 2} минус 1 больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — 6{{\log }_{2}}x, знаменатель — {{\log _{2}}x плюс 1} плюс дробь, числитель — 4{{\log }_{2}}x плюс 4, знаменатель — {{\log _{2}}x плюс 4} минус 1 больше или равно 0.

Пусть {{\log }_{2}}x=t. Тогда:

 дробь, числитель — 6t, знаменатель — t плюс 1 плюс дробь, числитель — 4t плюс 4, знаменатель — t плюс 4 минус 1 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 6{{t} в степени 2 } плюс 24t плюс 4{{t} в степени 2 } плюс 4t плюс 4t плюс 4 минус {{t} в степени 2 } минус 5t минус 4, знаменатель — (t плюс 1) умножить на (t плюс 4) больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — 9{{t} в степени 2 } плюс 27t, знаменатель — (t плюс 1) умножить на (t плюс 4) больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t(t плюс 3), знаменатель — (t плюс 1) умножить на (t плюс 4) больше или равно 0.

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Получили: t меньше минус 4,  минус 3 меньше или равно t меньше минус 1, t больше или равно 0. То есть:

{{\log }_{2}}x меньше минус 4 равносильно x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 ; минус 3 меньше или равно {{\log }_{2}}x меньше минус 1 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 меньше или равно x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;{{\log }_{2}}x больше или равно 0 равносильно x больше или равно 1.

Решения второго неравенства с учетом ограничений на x:  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . Пересечение решений обоих неравенств системы:  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup \left\{ 1 \}\cup ({{\log }_{2}}11; плюс принадлежит fty ).

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup \left\{ 1 \}\cup ({{\log }_{2}}11; плюс принадлежит fty ).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 67.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Иррациональные неравенства, Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа, Системы неравенств
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.2.9 Метод интервалов