СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C3 № 505792

Решите систему неравенств

Решение.

Преобразуем первое неравенство:

 

Заметим, что выражения и являются взаимно обратными. Второе из них имеет смысл при выполнении условия т. е. при Следовательно, решения первого неравенства системы следует искать на множестве

Пусть Тогда первое неравенство примет вид: или Найдем корни левой части этого неравенства:

 

Таким образом, при

Перейдем к переменной Будем иметь:

 

Решения первого неравенства системы множество

Рассмотрим второе неравенство системы на Найдем ограничения на

Докажем, что

 

(неравенство очевидное).

Ограничения на с учетом решений первого неравенства выглядят так:

То есть решения неравенства будут принадлежать множеству

 

На этом множестве:

 

 

 

Найдем корни числителя левой части последнего неравенства:

Итак,

Прежде чем получить окончательный результат докажем неравенство Действительно,

(неравенство очевидное).

При любом значении удовлетворяющему условию выполняются неравенства: Следовательно, на множестве

Решения исходной системы:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов, Введение замены, Иррациональные неравенства, Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Системы неравенств разного типа