Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505786
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 7x минус 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, новая стро­ка 4 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

4 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 4 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 15 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 4 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _34 рав­но­силь­но x боль­ше или равно \log _34.

Не­ра­вен­ство 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ре­ше­ний не имеет.

Итак, ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы  — мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка \log _34; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства, т. е. на мно­же­стве левая квад­рат­ная скоб­ка \log _34; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем огра­ни­че­ния на x, вклю­чая также усло­вие x боль­ше \log _34. По­лу­чим:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше или равно \log _34, новая стро­ка x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , новая стро­ка x не равно 3, новая стро­ка 2x в квад­ра­те минус 7x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше или равно \log _34, новая стро­ка x не равно 3, новая стро­ка x левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше или равно \log _34, новая стро­ка x не равно 3, новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4 мень­ше или равно x мень­ше 3, новая стро­ка 3 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти

Для таких x:

\log _ дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 7x минус 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 7x минус 2x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус 7x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус 7x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Най­дем корни квад­рат­но­го трех­чле­на f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x в квад­ра­те минус 7x плюс 1:

2x в квад­ра­те минус 7x плюс 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 49 минус 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус 7x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Пре­жде до­ка­жем, что дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 1, 3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Дей­стви­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 1 рав­но­силь­но 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та мень­ше 4 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та боль­ше 3 рав­но­силь­но 41 боль­ше 9 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

 

3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 12 мень­ше 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та мень­ше 14 рав­но­силь­но 5 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та мень­ше 7 рав­но­силь­но 25 мень­ше 41 мень­ше 49 (не­ра­вен­ство вер­ное).

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка \log _34;3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак левой части не­ра­вен­ства+–+

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния си­сте­мы: левая квад­рат­ная скоб­ка \log _34;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка \log _34;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505726: 505786 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 72
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Си­сте­мы не­ра­венств, Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025