Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 505786

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка \log _ дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 11 конец дроби левая круглая скобка 7x минус 2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0,  новая строка 4 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0.  конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Решим второе неравенство:

4 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0 равносильно 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 15 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 больше или равно 0 равносильно

 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений  3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби  3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 4 конец совокупности . равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 3 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _34 равносильно x больше или равно \log _34.

Неравенство 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби решений не имеет.

Итак, решения второго неравенства системы — множество  левая квадратная скобка \log _34; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Теперь решим первое неравенство системы на множестве решений второго неравенства, т. е. на множестве  левая квадратная скобка \log _34; плюс бесконечность правая круглая скобка . Найдем ограничения на x, включая также условие x больше \log _34. Получим:

 система выражений  новая строка x больше или равно \log _34,  новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка x не равно 3,  новая строка 2x в квадрате минус 7x меньше 0  конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше или равно \log _34,  новая строка x не равно 3,  новая строка x левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше 0  конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше или равно \log _34,  новая строка x не равно 3,  новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби .  конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка логарифм по основанию 3 4 меньше или равно x меньше 3, новая строка 3 меньше x меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности

Для таких x:

\log _ дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 11 конец дроби левая круглая скобка 7x минус 2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 11 конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 7x минус 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 11 конец дроби минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x в квадрате минус 7x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x в квадрате минус 7x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0.

Найдем корни квадратного трехчлена f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате минус 7x плюс 1:

2x в квадрате минус 7x плюс 1=0 равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: 7 минус корень из 49 минус 8, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка x= дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби  конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: 7 минус корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка x= дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби .  конец совокупности .

 

 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x в квадрате минус 7x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7 минус корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0.

Полученное неравенство решим методом интервалов. Прежде докажем, что  дробь: числитель: 7 минус корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби меньше 1, 3 меньше дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби . Действительно,

 дробь: числитель: 7 минус корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби меньше 1 равносильно 7 минус корень из 41 меньше 4 равносильно корень из 41 больше 3 равносильно 41 больше 9 (неравенство очевидное).

 

3 меньше дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 12 меньше 7 плюс корень из 41 меньше 14 равносильно 5 меньше корень из 41 меньше 7 равносильно 25 меньше 41 меньше 49 (неравенство верное).

 

Интервалы левая круглая скобка \log _34;3 правая круглая скобка  левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка  левая круглая скобка дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка
Знак левой части неравенства++

 

Таким образом, решения системы:  левая квадратная скобка \log _34;3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая квадратная скобка \log _34;3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 плюс корень из 41, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505726: 505786 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72.