Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505798
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x минус 2 минус 3, новая стро­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x минус 2 минус 3 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6 умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни x конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс x минус 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни x конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x62 плюс x минус 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

За­ме­тим, что обе части по­след­не­го не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­ны, чис­ли­те­ли равны, сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство будет вер­ным при зна­че­ни­ях x, при ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство 3 в сте­пе­ни x мень­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс x минус 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , ко­то­рое рав­но­силь­но не­ра­вен­ству x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс x минус 2 конец ар­гу­мен­та . Решим по­след­нее не­ра­вен­ство:

x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс x минус 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс x минус 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс x минус 2 боль­ше или равно 0, x мень­ше 0, конец си­сте­мы . новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0, x в квад­ра­те плюс x минус 2 минус x в квад­ра­те боль­ше 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 2, x боль­ше или равно 1, конец си­сте­мы . x мень­ше 0, конец со­во­куп­но­сти . новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0, x боль­ше 2 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка x боль­ше 2. конец си­сте­мы

Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства. Най­дем огра­ни­че­ния на x с уче­том ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 2, x боль­ше 2, конец си­сте­мы . новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби боль­ше 0, новая стро­ка 2x плюс 2 не равно 5x минус 1, новая стро­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 боль­ше 0. конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 2, x боль­ше 2, конец си­сте­мы . новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка 3x не равно 3, новая стро­ка x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 2, x боль­ше 2, конец си­сте­мы . новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 1, x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . новая стро­ка x не равно 1, новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x\leqslant минус 2, новая стро­ка x боль­ше 2. конец со­во­куп­но­сти

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x\leqslant минус 2, новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2 минус 5x плюс 1, зна­ме­на­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3x минус 3, зна­ме­на­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x\leqslant минус 2, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы

За­ме­тим, что при любом зна­че­нии x мень­ше или равно 2 будут вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства: x минус 1 мень­ше 0, x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше 0, x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 0, сле­до­ва­тель­но, по­след­няя си­сте­ма при­мет вид: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка 1 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы что рав­но­силь­но не­ра­вен­ству x мень­ше или равно минус 2. Если рас­смот­реть вто­рое не­ра­вен­ство на мно­же­стве левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , то по­лу­чим ана­ло­гич­ный ре­зуль­тат толь­ко с той раз­ни­цей, что x минус 1 боль­ше 0, x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0, и придём к си­сте­ме не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 2, новая стро­ка 1\geqslant0 конец си­сте­мы что, в свою оче­редь, рав­но­силь­но не­ра­вен­ству x боль­ше 2. Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 74
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ной функ­ции, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025