Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 505738

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка 4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2,  новая строка \log _5x минус 4x в квадрате 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше или равно 0. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы:

4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 меньше или равно 0 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 2 меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно x меньше или равно 1.

Решения первого неравенства системы:  левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка .

Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на x:

 система выражений  новая строка 5x минус 4x в квадрате больше 0,  новая строка 5x минус 4x в квадрате не равно 1 конец системы . равносильно равносильно система выражений  новая строка 4x в квадрате минус 5x меньше 0,  новая строка 4x в квадрате минус 5x плюс 1 не равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше 0,  новая строка x не равно дробь: числитель: 5\pm корень из 25 минус 16, знаменатель: 8 конец дроби  конец системы . равносильно равносильно система выражений  новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка x не равно 1,  новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .  конец системы .

Итак, второе неравенство имеет смысл, если x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . Для таких значений x будем иметь:

 левая круглая скобка 5x минус 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 4x в квадрате минус 5x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 4 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0.

Поскольку рассматриваемое неравенство имеет смысл только при положительных значениях х, то на данном этапе нам достаточно решить неравенство  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 на множестве  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . Очевидно, искомыми значениями переменной будут элементы множества  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . Ясно, что пересечением решений обоих неравенств системы будет множество  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.