1. Тип 18 № 512875 
Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Группировка, Перебор случаев, Перебор случаев
Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль
i
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более двух корней.
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
Последнее уравнение имеет более двух корней или если a = −1, или если уравнение 
имеет два различных корня, отличных от 3:
откуда 
или 
Исходное уравнение имеет более двух различных корней при 
при a = −1, при 
и при
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
Обоснованно получены все значения:  Ответ отличается от верного только включением точек  и/или  | 3 |
Обоснованно получено одно, два или три из значений  или  | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию — графиков функций, заданных выражениями, стоящими в левой и правой части равенства; — квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ:
512875
Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Группировка, Перебор случаев, Перебор случаев
тогда уравнение принимает вид 
Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.
то уравнение не имеет решений.
то уравнение имеет единственное решение (см. рис.). 
уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая 
касается графика функции 
(см. рис.), что задаётся системой соотношений:
Тогда уравнение имеет вид:
Получаем
для всех значений x, получаем:
то уравнение решений не имеет.
Тогда
Запишем уравнение в виде
Используем геометрический смысл модуля: уравнению удовлетворяют те и только те точки x, сумма расстояний от каждой из которых до точек 
равна расстоянию между этими точками. Поэтому решением исходного уравнения является все числа из отрезка 
и только они.
Это выполнено тогда и только тогда, когда
имеет больше двух корней.
и 
Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче 
задает семейство прямых, проходящих через точку 
с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при 
графики не имеют общих точек на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая 
тогда 
откуда находим 
Заметим, что на луче 
функция f принимает вид 
и что прямая n вторично пересекает график f в точке 
Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 
или 
имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно 
уравнение имело единственный корень, его дискриминант 
должен быть равен нулю, отсюда 
она действительно лежит между точками 
исходное уравнение будет иметь более двух корней на 
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
на промежутке 
отрицательны, а все значения функции 
неотрицательны, поэтому при 
уравнение 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай 
поэтому при 
это уравнения не имеет корней, при 
уравнения имеет единственный корень, равный 1, при 
уравнение имеет два корня.
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
тогда и только тогда, когда 
имеет следующее количество корней на промежутке 
:
и при 
и при 
тогда исходное уравнение принимает вид:
или 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые 
и 
совпадает с точкой 
или 
или 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
и 
Получаем
Тогда 
и 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной 
и 
.
имеет ровно три различных решения.
и рассмотрим графики функций 
и 
График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а. Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).
и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. 
должно иметь единственное решение. Приведём уравнение к стандартному виду: 
Из равенства нулю дискриминанта получаем 
откуда 
Если же параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение
является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке с координатами 
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке с координатами 
В силу справедливости неравенств
является единственной общей точкой этих парабол и прямой l (см. рис.).
Раскроем модуль:
задана парабола с вершиной 
при 
— парабола с вершиной 
может иметь 3 различных корня, только если 
(в противном случае — не более 2 корней). Тогда либо 
либо ровно одна из вершин парабол находится на оси Ox, то есть или 
или 
имеет ровно три корня?
и 
Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке 
(см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой 
Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку 
при другом — касается отраженного участка параболы. 
и 
остаются постоянными. 
принимает значение, равное 2, в двух различных точках.
(см. рис.) и определим, при каких значениях параметра он имеет ровно две точки пересечения с пучком прямых 
имеющих угловой коэффициент а и проходящих через точку (8; 0).
пересекает график функции в одной точке, а прямая (3) с угловым коэффициентом 
— в трех точках. Прямые (2) с угловыми коэффициентами 
пересекают график функции g в двух точках. Аналогично прямая (5) с угловым коэффициентом 0 пересекает график функции в трех точках, а прямая (7) с угловым коэффициентом −1 — в одной точке. Две точки имеют с графиком данной функции прямые (6), имеющие угловые коэффициенты которых 
имеет два различных корня».
тогда 
и уравнение примет вид: 
в таком случае 
Тогда 
тогда 
и уравнение примет вид: 
тогда 
тогда 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
и 
имеют ровно две общие точки на области x > 0. 
Абсцисса точки касания при таком значении а действительно положительна: 
(а значит, рисунок верен, и найденное значение параметра подходит). 
проходит через точку (0; 5). Поскольку 
находим: 
Следовательно, при 
на промежутке [0; 4) график модуля пересекает гиперболу в двух точках, а при 
лишь в одной точке.
и при 
уравнение имеет ровно два неотрицательных решения.
и 
Исследуем 
на промежутке 
Функция 
поскольку 
и 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
при 
уравнение имеет два корня.
Тогда оба корня меньше 
поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 
а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
:
на промежутке 
имеет более двух корней.
имеют более двух точек пересечения на области x > 0. 
Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m. 
в точках 
и 
а прямая m касается графика в точке 
Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В в силу того, что график выпукл вверх и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.
и 
Исследуем уравнение 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
уравнение имеет единственный корень, равный 2, при 
уравнение имеет два корня.
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
и рассмотрим уравнение: 
а потому исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда двойное неравенство
при 
Это уравнение имеет положительное решение 
а значит, оценка точная. Для отрицательных x получаем:
Это уравнение имеет отрицательное решение 
а значит, и эта оценка точная. Таким образом, уравнение имеет решения, если
и только они. Поэтому исходное уравнение равносильно следующим системам:
с центрами в точках 
и 
Изобразим их на рисунке. 
и/или 
и 
— парабола с отраженной отрицательной частью, перемещающаяся по оси абсцисс, с корнями 
и 
— изображённая на рисунке ломаная (выделена синим цветом). 
располагались выше графика 
Граничные способы подходящего расположения подвижного графика 
и параболы, задаваемой уравнением 
Они имеют единственную общую точку, а значит, уравнение 
имеет единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант полученного уравнения: 
откуда 
причем 
и производная возрастает на всей числовой оси. Для касания параболы и прямой необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной. Следовательно, если угловой коэффициент прямой меньше −2, то для определения граничного условия надо рассматривать касание прямой и левой ветви параболы. Если угловой коэффициент прямой больше 2, то необходимо рассматривать касание прямой и правой ветви параболы. Если же угловой коэффициент прямой находится в пределах от −2 до 2, то касание прямой и параболы будет в точке, расположенной на отрицательной части параболы, но эта часть симметрично отображена относительно оси абсцисс, следовательно, необходимо рассматривать условие прохождения прямой через корень параболы.
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение на x, найдем абсциссы точки пересечения ломаной и параболы: 
то уравнение решений не имеет.
и ни одно число из отрезка [3, 5] не является его решением.
и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка 
поскольку длина этого отрезка равна 
и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек 
и 
равна 
содержит отрезок [3, 5]. Это выполнено тогда и только тогда, когда
, но решение недостаточно обосновано или не доказано отсутствие других возможных значений a.
имеет ровно четыре корня.
преобразованиями графиков функций 
и 
Заметим, что
и 
Гипербола пересекает координатные оси в точках 
и 
Она изображена на рисунке справа.
совпадает с графиком функции 
на рисунке ниже изображён зеленым. График функции 
имеет ровно четыре корня при 
или 
Таким образом, наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно четыре корня, равно 4.
Рассмотрим уравнение 
Построим эскиз графика 
Функция 
обладает свойством: 
при всех x, причём 
имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.
при любом значении а. При 
эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда 
Ни одно из чисел, удовлетворяющих условию 
не является решением уравнения, поэтому значение 
Тогда верно неравенство 
Поэтому решением уравнения является любое число из отрезка 
поскольку длина этого отрезка равна 
и неравенству удовлетворяют те и только те точки x, сумма расстояний от каждой из которых до точек 
и 
равна 
при каждом из которых отрезок 
содержит хотя бы одно число, удовлетворяющее условию 
Это условие выполнено тогда и только тогда, когда выполняются неравенства
будет ровно три положительных.
уравнение имеет ровно три положительных решения, 
— четыре положительных решения, 
три положительных решения и нуль, 
три положительных решения и одно отрицательное. 
и 
и 
ограничивают многоугольник, площадь которого не менее 
Тогда линии 
и 
откуда a < 4,5. Абсциссы точек пересечения линий даются уравнением
откуда получаем: 
получим: 
Линии 
и 
то есть при 
Абсциссы точек пересечения линий даются уравнением
получим 
где 
Заметим, что знак коэффициента k определяется знаком перед числом 17, поскольку 
Значит, функция 
и возрастает при 
Решим получившееся неравенство:
рассмотрим разные случаи раскрытия модулей.
получаем
— верно при любых значениях 
получаем
получаем
получаем
— верно при любых значениях 
или 
c направленными вверх ветвями и вершиной в точке 
Совокупностью графиков правых частей уравнений при условии 
является изображённый на рисунке четырехугольник (выделен синим). Три решения возможны если одна из ветвей параболы имеет одну общую точку с ломаной, а вторая ветвь — две.
при 
модуль производной больше 8. Значит, возможны только два случая
или 
или 
и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.
то есть при 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: 
то есть при 
получим
то есть 
имеем:
при 
имеет единственное решение 
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:
имеем:
то есть 
или 
пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, 
тогда исходное уравнение имеет хотя бы два корня тогда и только тогда, когда уравнение 
получаем линейное уравнение
рассмотрим квадратичную функцию 
с положительным старшим коэффициентом. Учитывая, что случай 
невозможен, получаем, что для того, чтобы квадратное уравнение 
имело хотя бы один положительный корень, достаточно, чтобы выполнялась система условий 
откуда получаем:
получаем ответ.
лежащие не выше прямой 
График второй системы представляет собой части параболы 
лежащие выше прямой 
построенный график имеет четыре точки пересечения с горизонтальной прямой, при 
и при 
— три точки, при остальных значениях a — две точки. Значит, исходное уравнение имеет четыре корня при 
при a > 0, t > 0. Запишем уравнение в виде
Уравнение 
имеет хотя бы одно решение, если его дискриминант D ⩾ 0. Имеем:
положительны, поскольку их сумма положительна и равна 
а произведение равно 1.
решений не имеет, а уравнение 
на отрезке 
имеет единственное решение х = 0.
получаем:
является корнем исходного уравнения при условии
получаем:
на промежутке 
корней нет, а при 
корнем является число 
при условии 
получаем:
является корнем исходного уравнения при условии
или 
Дополнительно отметим, что при 
или 
уравнение имеет единственное решение, при других значениях параметра уравнение не имеет решений.
откуда 
или 
то есть 
или 
Поскольку x ⩾ 0, получаем: 0 ⩽ a ⩽ 6.
откуда 
или 
то есть 
или 
Поскольку x < 0, получаем: 0 < a < 6.
Чтобы эти корни были различными, необходимо и достаточно выполнения условий
а произведение равно 
Ясно, что это числа 
уравнение 
принимает вид: 
при 
и луч l2 с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой 
при 
Лучи l1 и l2 пересекаются в точке (−1; 0). При 
уравнение 
при 
и луч l4 с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой 
при 
Лучи l3 и l4 пересекаются в точке (1; 0).
с объединением лучей l1, l2, l3 и l4.
и не пересекается при 
и не пересекается при 
и 
прямая 
прямая 
и 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
является решением уравнения
то есть a < 3, то уравнение
и ни одно число из отрезка [3; 6] не является его решением. 
и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка 
поскольку длина этого отрезка равна 
а уравнению удовлетворяют те и только те точки x, сумма расстояний от каждой из которых до точек 
и 
равна 
содержит отрезок [3; 6] тогда и только тогда, когда 
и 
откуда следует, что 
то справедливо оценка
и 
тогда
тогда 
и
является убывающей, а функция 
— возрастающей, значит, уравнение имеет не более одного корня. При 
уравнение обращается в верное равенство, поэтому 
где t принимает все значения 
Тогда 
и 
(выделены зелёным пунктиром), разбивают полосу 
на три области. Раскроем модули в каждой из этих областей.
получаем, что 
тогда
получаем, что 
и 
получаем, что 
тогда
(выделено синим).
Нули функции: 
и 
Изобразим эскиз графика при 
ровно один раз пересекает график 
при всех неотрицательных значениях x. Значит, при 
при 
вершина в точке 
Тогда для выполнения условия задачи необходимо и достаточно выполнения условия 
Решим систему:
условие задачи выполнено.
система (⁎) не имеет решений. Определим количество решений системы (⁎⁎). Изобразим эскиз графика функции 
при 
Заметим, что при любом значении 
горизонтальная прямая 
ровно один раз пересекает график 
и 
то уравнение принимает вид 
и имеет два корня: числа −2 и 0. Поэтому это значение параметра не подходит. При 
число x = 0 не является решением уравнения, а потому его можно записать в виде 
то графики могут иметь две общие точки, лежащие во второй четверти (см. рис. 3). Чтобы решение было единственным, правая ветвь графика модуля не должна не иметь общих точек с левой ветвью гиперболы. Это означает, что не должно иметь решений уравнение 
Запишем его как квадратное, получим 
Вычислим четверть дискриминанта: 
Дискриминант должен быть отрицательным, откуда 
имеет ровно три различных корня.
и имеет единственный корень 
При 
построим графики левой и правой частей уравнения с системе координат xOy. Левая часть: уравнение 
задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным 1, каждая из которых пересекает ось ординат в 
последовательными преобразованиями графиков (см. рис). 
то есть в следующих двух случаях (см. рис.). 
тогда:
тогда:
полученная система равносильна системе:
тогда второе уравнение примет вид:
получаем 
что удовлетворяет условию задачи, а при 
получаем 
что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, значение 
то второе уравнение примет вид:
Заметим, что при любом 
положительно. Значит, 
удовлетворяет условию задачи. Отсюда получаем, что в этом случае 
получают сдвигом графика функции 
на 4 единицы вниз вдоль 
построенных на отрезке [−8; 0].
и 
парабола 
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
соответственно. Найдем 
касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при 
должен быть равен нулю дискриминант уравнения 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Аналогично найдем 
дискриминант уравнения 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
лежат на отрезке [−8; 0]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, зеленым и красным изображены графики второго уравнения для случаев 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
тогда уравнение можно записать в виде
функция 
не принимает положительных значений. При 
функция f принимает только положительные значения и возрастает как произведение положительных возрастающих функций. Заметим, что 
а тогда уравнение (⁎) равносильно уравнению 
тогда уравнение (⁎⁎), а вместе с ним и исходное уравнение имеют хотя бы один корень тогда и только тогда, когда хотя бы один неотрицательный корень имеет уравнение
с центром в точке 
Окружность пересекает вертикальную ось в точках −1 и 1 (см. рис.), уравнение имеет хотя бы одно неотрицательное решение, если 
заключаем, что каждое из полученных в левой части уравнения слагаемых неотрицательно, поэтому их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:
значит, 
значит, 
Учитывая условия 
указанное уравнение может иметь корень только в случае 
откуда 
Найдем дискриминант: 
дискриминант неположителен, а значит указанное уравнение может иметь корень только когда дискриминант равен нулю, это достигается при 
что невозможно ни при каких p или при 
откуда 
(см. первое уравнение совокупности).
Подставим 
тогда 
или 
и получена хотя бы одна из точек 
и множества значений 
и 
множества значений a.
имеет более трех корней.
радиусом 
Прямая 
и 
Прямая 
имеет два решения;
— три решения;
— четыре решения;
— три решения;
— четыре решения;
— четыре решения;
— три решения;
— не более двух решений.
и 
Получаем неравенство 
лежит не выше графика 
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 
и 
Получаем систему: 
получаем 
откуда находим 
получаем 
Это верно при любом a.
получаем 
откуда находим 
Решением второго неравенства является тот же промежуток.
имеет более трех различных решений.
Она возрастающая, как сумма двух возрастающих функций. Значит, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Тогда исходное уравнение можно записать в виде 
и оно равносильно уравнению 
тогда каждому положительному значению y соответствует два различных значения x, значению 
соответствует 
должно иметь два различных положительных корня. Это выполняется при 
тогда исходное уравнение принимает вид 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а значения 
дают два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
и 
Имеем:
и/или 
где 
тогда 
Раскроем модули:
значение функции 
На 
функция 
причем каждое ровно один раз. 
должно иметь два решения, каждое из которых отлично от −4. Тогда:
тогда
При 
функция f возрастает 
она постоянна: 
При 
при любом раскрытии модулей функция f возрастает. 
а при 
тогда получим
принимает только значение 
— неограниченно возрастает.
соответствует ровно одно значение x, значению 
— бесконечное число значений x, а для любого значения 
— нет соответствующих значений x. Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (⁎) имело ровно один корень, удовлетворяющий условию 
и не имело корня 
Это достигается в двух случаях.
в точке 
то и второе тоже, а потому общее число корней будет меньше четырех. Значит, 
не должно быть корнем.
тоже является корнем этого уравнения. Значит, достаточно рассмотреть только 
тогда 
где 
Получаем 
при
обращается в нуль, тогда и только тогда, когда значения a и x имеют разные знаки или хотя бы одно из них равно нулю, то есть 
прямой 
и окружности 
лежащих в первой и третьей координатных четвертях. 
проходит через точки: 
—вершина, 
радиусом 1 с центром в точке 
и 
