Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 526257

При каких значениях параметра a уравнение

 дробь: числитель: |4x| минус x минус 3 минус a, знаменатель: x в квадрате минус x минус a конец дроби =0

имеет ровно 2 различных решения.

Спрятать решение

Решение.

В системе координат хOa изобразим ломаную, задаваемую уравнением a = |4x| минус x минус 3, все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу a=x в квадрате минус x, точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставляя a=x в квадрате минус x в уравнение a = |4x| минус x минус 3 и решая полученное уравнение на x, найдем абсциссы точки пересечения ломаной и параболы:

|4x| минус x минус 3 = x в квадрате минус x равносильно |4x| = x в квадрате плюс 3 равносильно совокупность выражений 4x = x в квадрате плюс 3,4x = минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 4x плюс 3 = 0, x в квадрате плюс 4x плюс 3 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 1,x = 3, x= минус 1, x = минус 3. конец совокупности .

Ординаты точек пересечения суть 0, 6, 2 и 12 соответственно. Для найденных значений параметра числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.

Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда a принадлежит левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6;12 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 12; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6;12 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 12; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены все значения a, но число −3 ошибочно включено в ответ3
С помощью верного рассуждения получены значения параметра a, отличающиеся от верных только включением лишних точек 0, 2, 6 и 12.2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически).1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром