Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Рас­смот­рим все воз­мож­ные слу­чаи.

1.  При ис­ход­ное урав­не­ние имеет два корня, что не под­хо­дит:

2.  При вто­рая си­сте­ма по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти (⁎⁎) не имеет ре­ше­ний. Опре­де­лим ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы (⁎). Рас­смот­рим функ­цию Нули функ­ции: и Изоб­ра­зим эскиз гра­фи­ка при (см. рис. 1). При любом зна­че­нии го­ри­зон­таль­ная пря­мая ровно один раз пе­ре­се­ка­ет гра­фик при всех не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях x. Зна­чит, при усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но.

Рис. 1:

Рис. 2:

3.  При си­сте­ма  (⁎) не имеет ре­ше­ний. Опре­де­лим ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы  (⁎⁎). Изоб­ра­зим эскиз гра­фи­ка функ­ции при (см. рис. 2). Нули функ­ции: и вер­ши­на в точке Тогда для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вия Решим си­сте­му:

Рис. 3:

4.  При ис­ход­ное урав­не­ние имеет один ко­рень усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но.

5.  При си­сте­ма  (⁎) не имеет ре­ше­ний. Опре­де­лим ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы  (⁎⁎). Изоб­ра­зим эскиз гра­фи­ка функ­ции при (см. рис. 3). Нули функ­ции: и За­ме­тим, что при любом зна­че­нии го­ри­зон­таль­ная пря­мая ровно один раз пе­ре­се­ка­ет гра­фик при от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях x. Зна­чит, при усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при и

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и имеет два корня: числа −2 и 0. По­это­му это зна­че­ние па­ра­мет­ра не под­хо­дит. При число x  =  0 не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния, а по­то­му его можно за­пи­сать в виде

Опре­де­лим, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра гра­фи­ки левой и пра­вой части имеют ровно одну точку пе­ре­се­че­ния. Гра­фик левой части урав­не­ния  — «галка» с вер­ши­ной x  =  −2a, а гра­фик пра­вой части урав­не­ния  — ги­пер­бо­ла, рас­по­ло­жен­ная в пер­вой и тре­тьей чет­вер­тях при и во вто­рой и чет­вер­той при

При Тогда гра­фик мо­ду­ля и ги­пер­бо­ла имеют един­ствен­ную в силу раз­ной мо­но­тон­но­сти функ­ций общую точку, ле­жа­щую в пер­вой чет­вер­ти (см. рис. 1). Все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра под­хо­дят.

Рис. 1:

Рис. 2:

Рис. 3:

При гра­фи­ки функ­ций рас­по­ло­же­ны так, как по­ка­за­но на вто­ром ри­сун­ке. Они пе­ре­се­ка­ют­ся в един­ствен­ной точке, ле­жа­щей во вто­рой чет­вер­ти (см. рис. 2). Все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра под­хо­дят.

Если же то гра­фи­ки могут иметь две общие точки, ле­жа­щие во вто­рой чет­вер­ти (см. рис. 3). Чтобы ре­ше­ние было един­ствен­ным, пра­вая ветвь гра­фи­ка мо­ду­ля не долж­на не иметь общих точек с левой вет­вью ги­пер­бо­лы. Это озна­ча­ет, что не долж­но иметь ре­ше­ний урав­не­ние За­пи­шем его как квад­рат­ное, по­лу­чим Вы­чис­лим чет­верть дис­кри­ми­нан­та: Дис­кри­ми­нант дол­жен быть от­ри­ца­тель­ным, от­ку­да

Рас­смат­ри­ва­е­мо­му слу­чаю со­от­вет­ству­ют

Объ­еди­няя най­ден­ные ре­зуль­та­ты, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: или