ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 507512 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$|x минус a в квадрате плюс a плюс 2| плюс |x минус a в квадрате плюс 3a минус 1|=2a минус 3$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Спрятать решение

Решение.

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

$левая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 3a минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус a в квадрате плюс a плюс 2 правая круглая скобка =2a минус 3.$

Сделаем замену: $m=x минус a в квадрате плюс 3a минус 1, n=x минус a в квадрате плюс a плюс 2.$ Тогда уравнение имеет вид:

$|m| плюс |n|=m минус n.$

Это равносильно условию $n\leqslant0 меньше или равно m.$ Получаем

$x минус a в квадрате плюс a плюс 2\leqslant0 меньше или равно x минус a в квадрате плюс 3a минус 1 равносильно$

$равносильно a в квадрате минус 3a плюс 1 меньше или равно x меньше или равно a в квадрате минус a минус 2.$

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) , только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19. Получаем

$система выражений a в квадрате минус 3a плюс 1 меньше или равно a в квадрате минус a минус 2, новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl a в квадрате минус a минус 2\leqslant4, a в квадрате минус 3a плюс 1\geqslant19 \endarray. конец системы . равносильно система выражений 2a больше или равно 3, левая квадратная скобка \beginarrayl a в квадрате минус a минус 6\leqslant0, a в квадрате минус 3a минус 18\geqslant0 \endarray . конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a больше или равно 1,5, новая строка левая квадратная скобка \beginarray l левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0, левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка \geqslant0 \endarray . конец системы . равносильно система выражений a больше или равно 1,5, новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl a\leqslant минус 3, минус 2 меньше или равно a\leqslant3,a\geqslant6. \endarray . конец системы .$ $система выражений a в квадрате минус 3a плюс 1 меньше или равно a в квадрате минус a минус 2, новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl a в квадрате минус a минус 2\leqslant4, a в квадрате минус 3a плюс 1\geqslant19 \endarray. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2a больше или равно 3, левая квадратная скобка \beginarrayl a в квадрате минус a минус 6\leqslant0, a в квадрате минус 3a минус 18\geqslant0 \endarray . конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a больше или равно 1,5, новая строка левая квадратная скобка \beginarray l левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0, левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка \geqslant0 \endarray . конец системы . равносильно система выражений a больше или равно 1,5, новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl a\leqslant минус 3, минус 2 меньше или равно a\leqslant3,a\geqslant6. \endarray . конец системы .$

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка 1,5;3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а.	1
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а.	2
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 507512: 507587 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть 2)

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Использование косвенных методов, Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Гость 11.05.2015 00:39

ошибка в том, что по условию скобки (интервала) круглые, следовательно концы не включаем.

или я не прав? не могли бы объяснить?

Александр Иванов

Рассмотрим конкретный случай:

при $a=3$ решением исходного уравнения будет отрезок $1 меньше или равно x меньше или равно 4$ , т.е. корни есть и не один из корней не принадлежит промежутку $левая круглая скобка 4; 19 правая круглая скобка$

Гость 10.02.2016 12:24

Из равенства m-n не следует ли m<0<n?

Александр Иванов

нет.

Чтобы разность m-n была неотрицательной и равнялась сумме модулей, n должно быть неположительным, а m - неотрицательным