Тип 18 № 630189 
Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль
i
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 4 различных решения.
Решение. При x ⩾ 0, раскрывая модуль, получаем:
Полученное уравнение является квадратным относительно параметра, вычислим дискриминант уравнения:
Тогда 
откуда 
или 
то есть 
или 
Поскольку x ⩾ 0, получаем: 0 ⩽ a ⩽ 6.
Аналогично, снимая модуль при x < 0, получаем:
Вычислим дискриминант уравнения:
Тогда 
откуда 
или 
то есть 
или 
Поскольку x < 0, получаем: 0 < a < 6.
Таким образом, при 0 < a < 6 уравнение имеет 4 корня: 
6 – a, –a и 
Чтобы эти корни были различными, необходимо и достаточно выполнения условий
Таким образом, 
Ответ:
Примечание.
Искать корни квадратного уравнения удобно по теореме, обратной теореме Виета. Например, для уравнения
можно заметить, что сумма корней равна 
а произведение равно 
Ясно, что это числа и 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ:
