Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 689292
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

синус | арк­тан­генс x| плюс a умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: арк­тан­генс x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a|x|, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что если число x0 яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния, то и число минус x_0 тоже яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния. Зна­чит, до­ста­точ­но рас­смот­реть толь­ко x боль­ше или равно 0, при этом усло­вии урав­не­ние при­мет вид

синус левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: арк­тан­генс x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ax, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пусть y= арк­тан­генс x, тогда x= тан­генс y, где 0 мень­ше или равно y мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­лу­ча­ем

синус y плюс a ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a тан­генс y, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те y конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но синус y плюс a ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a синус y умно­жить на | ко­си­нус y|, зна­ме­на­тель: ко­си­нус y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус в квад­ра­те y плюс синус в квад­ра­те y конец ар­гу­мен­та конец дроби \underset 0 мень­ше или равно y мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \mathop рав­но­силь­но синус y плюс a ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = a синус y рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 синус дробь: чис­ли­тель: y}2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y}2 минус 2a синус дробь: чис­ли­тель: y}2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y}2 плюс a умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 \underset{ 0 мень­ше или равно y мень­ше дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: \mathop{ рав­но­силь­но , зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби 2 синус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2a синус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс a =0 рав­но­силь­но синус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: a конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

По­лу­чен­ное три­го­но­мет­ри­че­ское урав­не­ние имеет ре­ше­ние на 0 мень­ше или равно y мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при

синус 0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0, дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби мень­ше ко­рень из 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше или равно 0, a боль­ше 1, конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше 1, a боль­ше 2 плюс ко­рень из 2 конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше или равно 0, a боль­ше 2 плюс ко­рень из 2 . конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние при a мень­ше или равно 0 и a боль­ше 2 плюс ко­рень из 2 .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из 2 ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 512
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026