ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 677086 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 2|x| правая круглая скобка в степени 5 плюс x в квадрате плюс a минус 2|x| = 0$ имеет более трех различных решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

$x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 2|x| правая круглая скобка в степени 5 плюс x в квадрате плюс a минус 2|x| = 0 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс x в квадрате = минус левая круглая скобка a минус 2|x| правая круглая скобка в степени 5 минус a плюс 2|x| равносильно левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка в степени 5 плюс x в квадрате = левая круглая скобка 2|x| минус a правая круглая скобка в степени 5 плюс 2|x| минус a$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени 5 плюс t.$ Она возрастающая, как сумма двух возрастающих функций. Значит, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Тогда исходное уравнение можно записать в виде $f левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка =f левая круглая скобка 2|x| минус a правая круглая скобка ,$ и оно равносильно уравнению $x в квадрате =2|x| минус a.$

Пусть $y=|x|,$ тогда каждому положительному значению y соответствует два различных значения x, значению $y=0$ соответствует $x=0,$ а отрицательным значениям y не соответствует ни одного значения x. Чтобы исходное уравнение имело более трёх различных решений, уравнение $a=2y минус y в квадрате$ должно иметь два различных положительных корня. Это выполняется при $0 меньше a меньше 1.$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ−2025. Досрочная волна 28.03.2025. Разные города. Подборка Профиматики;

Задания 18 ЕГЭ–2025.

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства с параметром

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь