а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  5 и BC  =  ⁠12. Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SB  =  9,

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми SC и BD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 7 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

На сколь­ко лет пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после его пол­но­го по­га­ше­ния со­ста­вит 17,5 млн руб­лей?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AK и CM. На них из точек M и K опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ME и KH со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые EH и AC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние EH и AC, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2376. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 16 за­ме­ни­ли на число 61).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в три раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в шесть раз мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.