При каких a уравнение 
имеет ровно три корня?
Запишем уравнение в виде 
Построим графики левой и правой частей уравнения 
и 
Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке 
(см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой 
Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку 
при другом — касается отраженного участка параболы.
Первое происходит при 
а второе — когда уравнение
имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.
Ответ: 
Приведем решение Елизаветы Зелёненькой (Москва).
Изобразим уравнение в системе координат xOa. Прямые a = x, x = −1, x = 3 разбивают плоскость на шесть областей, в каждой из которых знаки выражений 
и 
остаются постоянными.
Найдем знак каждого подмодульного выражения в каждой области:
| | |
| I | + | − |
| II | − | − |
| III | + | − |
| IV | + | + |
| V | − | + |
| VI | + | + |
Найдем уравнения для каждой области. Области I и III:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Область II:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Области IV и VI:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Область V:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Изобразим в координатах (x; a):
Уравнение имеет ровно три корня при
Почему по аналогии не рассмотрен второй случай, при котором прямая
касается отраженной параболы или проходит через точку 
Тогда получится еще два решения: 
и 
Потому, что интересующий нас кусок этой прямой не может касаться отраженной параболы, а когда она проходит через точку
получается одно решение, а не три.