Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 20. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCDE.

Даны век­то­ры и Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объём ко­ну­са равен 60. Най­ди­те объём шара.

В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 70 спортс­ме­нов; 27 из них  — из Хор­ва­тии, 29  — из Вен­грии, остав­ши­е­ся  — из Сло­ве­нии. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет вы­сту­пать спортс­мен из Сло­ве­нии.

В ко­роб­ке 7 синих, 6 крас­ных и 12 жёлтых фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­стер?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну где m₀  — на­чаль­ная масса изо­то­па, t  — время, про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та, T  — пе­ри­од по­лу­рас­па­да. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни масса изо­то­па 128 мг. Пе­ри­од его по­лу­рас­па­да со­став­ля­ет 3 мин. Най­ди­те, через сколь­ко минут масса изо­то­па будет равна 1 мг.

На из­го­тов­ле­ние 396 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 5 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 483 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций. Най­ди­те абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  8 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA  =  15, SB  =  17,

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 29 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 4% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше суммы долга на 15 число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 15-му числу 29-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 2,32 млн руб­лей?

Дана тра­пе­ция ABCD с бо­ко­вой сто­ро­ной AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям. Из точки А на сто­ро­ну CD опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр AH. На сто­ро­не AB взята точка E так, что пря­мые СЕ и СD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­зать, что пря­мые BH и ED па­рал­лель­ны.

б)  Найти от­но­ше­ние BH к ED, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 330. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в че­ты­ре раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в три раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.