Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Положим 
и рассмотрим уравнение:
Таким образом, решениями уравнения являются все числа t такие, что 
а потому исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда двойное неравенство
имеет решения.
В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных x находим:
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда 
при 
Это уравнение имеет положительное решение 
а значит, оценка точная. Для отрицательных x получаем:
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда при 
Это уравнение имеет отрицательное решение 
а значит, и эта оценка точная. Таким образом, уравнение имеет решения, если
Ответ: 
Приведем другое решение.
Положим и рассмотрим уравнение:
В силу геометрического смысла модуля решениями полученного уравнения являются все такие числа t, что 
и только они. Поэтому исходное уравнение равносильно следующим системам:
Полученные неравенства справедливы, если знаки числителя и знаменателя дроби различны. Уравнения
задают на плоскости Oха окружности радиусом 
с центрами в точках 
и 
Изобразим их на рисунке.
При положительных значениях переменной системе удовлетворяют все точки расположенного слева круга без выколотой точки (0; 0). При отрицательных значениях системе удовлетворяют все точки расположенного справа круга без выколотой точки (0; 0). Таким образом, система, а вместе с ней и исходное уравнение имеют решения при всех значениях параметра таких, что 
и/или 
