Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Преобразуем уравнение:
В силу справедливости неравенства 
заключаем, что каждое из полученных в левой части уравнения слагаемых неотрицательно, поэтому их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:
Полученная система имеет решения, если
Ответ: 
Приведем решение Александра Вареса (Москва).
Пусть 
1. Оценим значения введенных переменных: 
значит, 
значит, 
2. При таких переменных уравнение имеет вид
3. Рассмотрим первое уравнение совокупности 
Учитывая условия 
и 
указанное уравнение может иметь корень только в случае 
откуда 
4. Рассмотрим второе уравнение совокупности 
Найдем дискриминант:
При условии 
дискриминант неположителен, а значит указанное уравнение может иметь корень только когда дискриминант равен нулю, это достигается при 
что невозможно ни при каких p или при 
откуда 
(см. первое уравнение совокупности).
5. Из пунктов 3 и 4 можно сделать вывод о том, что исходное уравнение может иметь только один корень 
Подставим в уравнение и выясним параметр. Уравнение принимает вид
Пусть 
тогда
Ответ: 
или 
и получена хотя бы одна из точек 
и множества значений 
и 
множества значений a.