Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно три различных решения.
Запишем уравнение в виде 
и рассмотрим графики функций 
и 
График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а. Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).
В первом случае 
и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.
Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение 
должно иметь единственное решение. Приведём уравнение к стандартному виду: 
Из равенства нулю дискриминанта получаем 
откуда 
Если же параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение
Оно имеет единственное решение, только если 
Ответ: 3,5; 4; 4,5.
Приведем решение, основанное на идее Елизаветы Зелёненькой (Москва).
Построим график заданного уравнения в системе координат xOa. Для этого раскроем модуль:
Изобразим множество точек, удовлетворяющих полученным соотношениям, в плоскости xOa. Прямая, задаваемая уравнением a = x, разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Назовем эту прямую l.
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке с координатами 
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке с координатами 
В силу справедливости неравенств
первая из парабол лежит целиком ниже прямой l, а вторая лежит целиком выше этой прямой. Заметим также, что в силу сказанного точка с координатами 
является единственной общей точкой этих парабол и прямой l (см. рис.).
Определим теперь, при каких значениях параметра горизонтальные прямые будут иметь с построенным графиком исходного уравнения ровно 3 общие точки. Это прямые, задаваемые уравнениями а = 3,5 и а = 4,5, проходящие через вершины построенных парабол, и прямая задаваемая уравнением а = 4, проходящая через точку их касания.
Ответ: а = 3,5, а = 4, а = 4,5.
Приведем решение Святослава Горбатова.
Рассмотрим функцию 
Раскроем модуль:
Заметим, что при любом раскрытии модуля абсциссы вершин парабол не зависят от параметра a. При 
задана парабола с вершиной 
при 
— парабола с вершиной 
Уравнение 
может иметь 3 различных корня, только если 
(в противном случае — не более 2 корней). Тогда либо 
либо ровно одна из вершин парабол находится на оси Ox, то есть или 
или 
Получаем:
Отдельно заметим, что вершины обеих парабол не могут одновременно располагаться на оси Ox, так как система
не имеет решений.
Ответ: 