1. Тип 15 № 505567 
Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Метод интервалов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию
i
Решите неравенство: 
Решение. Областью определения неравенства являются положительные числа, отличные от 0,25 и 1. Выражение 
либо равно нулю при 
при этом неравенство верно; либо положительно, и тогда на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Имеем:
Учитывая, что 
получаем ответ: 
Ответ:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
505567
Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Метод интервалов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
и 
то есть при 
и 
При этих условиях получаем:
тогда 
или 
Из полученного набора нужно ещё исключить 
тогда неравенство принимает вид 
то
или 
то
или 
или 
тогда 
и, следовательно, 
откуда 
или 
откуда находим решение неравенства: 
Преобразуем неравенство:
и 
неравенство равносильно неравенству: 
получаем: 
получаем множество решений неравенства: 
к десятичному логарифму. Заметим, что при 
можно произвести следующие преобразования:
Полученные значения переменной удовлетворяют условию 
Имеем:
получаем: 
Решение неравенства: 
Рассмотрим два случая. 
Получаем, что 
Тогда
следовательно, при 
исходное неравенство верно.
:
или 
откуда 
или 
получаем: 
или 
получаем: 
или 
и 
а значит, 
и 
тогда неравенство примет вид: 
Получаем: 
Тогда
и 
Первое неравенство верно при 
При этих значениях переменной числитель дроби во втором неравенстве положителен, значит, положителен и знаменатель. Следовательно, 
При 
эта сумма больше 1. Тогда и основание, и аргумент выражения 
больше 1, а значит, левая часть исходного неравенства положительна. Тогда положительна и правая часть, откуда 
обе части неравенства положительны, а аргументы логарифмов равны и больше 1. Значит, основание логарифма, стоящего в левой части неравенства, не меньше основания логарифма, стоящего в правой. На луче 
имеем:
то 
и 
Пусть 
тогда
Теперь перейдем к переменной x.
Получаем 
откуда z > 0. Обратная замена:
тогда 
Решим неравенство методом интервалов:
и обращается в ноль только при 
то есть и 
при 
при 
и 
и 
при 
то есть 
при 
имеем:
или 
:
и приведем левую часть к общему знаменателю:
Возвращаясь к переменной x, находим множество решений исходного неравенства: 
откуда получаем 
и данное неравенство равносильно неравенству
где 
получаем неравенство 
Заметим, что при 
функция 
возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и 
Таким образом, множеством решений этого неравенства является луч 
и что 
поэтому первое слагаемое равно 42 = 16. Имеем:
получаем 
решим неравенство 
Используя свойство логарифма 
перейдём к основанию 2, получим:
имеем:
получаем: 
Заметим, что 
при любых значениях x. Имеем:
тогда 
то есть при 
запишем исходное неравенство в упрощенном виде и применим метод интервалов (см. рис.):
тогда
или 
Для положительных а такое неравенство верно, если 
Если же значения а отрицательны, то они должны быть больше −1. Итак, 
неравенства не имеют смысла. При 
основания логарифмов больше 1 и совокупность принимает вид
получаем
получаем
а значит, неравенство не имеет решений. При 
Для таких значений x справедливо тождество:
откуда 
Учитывая область определения, окончательно получаем: 
получаем:
левая часть которого отрицательна. Значит, в этом случае решений нет.
Знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, положителен, поэтому на него можно умножить, не меняя знака неравенства. Таким образом, 
откуда находим, что 
Учитывая область определения, окончательно получаем: 
которое определено лишь при 
При этом условии раскроем модуль в знаменателе второй дроби, получим:
тогда
положительно при всех допустимых значениях x, так как неотрицательные слагаемые не равны нулю одновременно. Следовательно, обе части неравенства можно умножить на это выражение, не меняя знака неравенства. Получаем:
и 
для любых значений x, тогда
или 
или 
получаем:
получаем
получаем
или 
тогда
можно заменить на 
откуда находим:
тогда
При 
знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, положителен, а потому на него можно умножить, не меняя знака неравенства. Получим:
поэтому 
знаменатель дроби отрицателен, а значит, знак неравенства меняется. Находим:
или 
тогда
Решая эту систему, находим область определения: 
На множестве X для первого неравенства, используя свойство логарифма (
получим:
Пусть 
тогда
что невозможно, или 
откуда 
или 
имеем:
При этих значениях x правая часть неравенства принимает значения, не превосходящие 2. Левая часть неравенства имеет вид 
где 
Основание и аргумент логарифма, обозначенного t, больше единицы, а потому 
При положительных t справедливо неравенство 
исходное неравенство верно тогда и только тогда, когда обе его части равны 2. Уравнение 
имеет единственное решение 
а потому исходное неравенство равносильно системе: 
На области определения имеем:
тогда
находим:
Таким образом,
логарифма положительно и меньше единицы, то есть при 
то аргумент 
логарифма больше 1, а потому 
и полученная система неравенств несовместна. Если же 
то есть если 
находим:
