Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 529732
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в кубе x плюс 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfracx пра­вая круг­лая скоб­ка 4 левая круг­лая скоб­ка 256x в сте­пе­ни 7 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка : левая круг­лая скоб­ка 8 плюс дробь: чис­ли­тель: 127, зна­ме­на­тель: x минус 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем первую скоб­ку. Пусть t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, тогда

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4=t в квад­ра­те минус t минус 2,

от­ку­да для пер­во­го сла­га­е­мо­го по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: t в кубе плюс 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те минус t минус 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус t плюс 1, зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби , t не равно минус 1.

Во вто­ром сла­га­е­мом пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 2:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 256x в сте­пе­ни 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 256x в сте­пе­ни 7 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x в сте­пе­ни 7 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 256, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 8, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7t плюс 8, зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби .

Тогда сумма сла­га­е­мых в пер­вой скоб­ке равна

дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус t плюс 1, зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7t плюс 8, зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те плюс 6t плюс 9, зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби , t не равно минус 1.

Пре­об­ра­зу­ем вто­рую скоб­ку:

8 плюс дробь: чис­ли­тель: 127, зна­ме­на­тель: x минус 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8x минус 128 плюс 127, зна­ме­на­тель: x минус 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус 16 конец дроби .

Тогда при усло­вии ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x не равно минус 1, то есть при 0 мень­ше x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , за­пи­шем ис­ход­ное не­ра­вен­ство в упро­щен­ном виде и при­ме­ним метод ин­тер­ва­лов (см. рис.):

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 2 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 8x минус 1, зна­ме­на­тель: x минус 16 конец дроби \geqslant0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 16 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 8x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \geqslant0 ,x не равно 16 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 4,x боль­ше 16. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 16; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 291
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства выс­ших сте­пе­ней, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Метод ин­тер­ва­лов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025