ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 511246 Добавить в вариант

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 5 минус x, знаменатель: 4 минус x конец дроби \leqslant1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 9x плюс 20 конец дроби$

Спрятать решение

Решение.

Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x не равно 1 , новая строка x не равно 2 , новая строка x не равно 3 , новая строка дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: x минус 4 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x не равно 1 , новая строка x не равно 2 , новая строка x не равно 3 , новая строка совокупность выражений новая строка x меньше 4 , новая строка x больше 5 . конец системы . конец совокупности .$

Далее заданное неравенство будем рассматривать только на множестве M  =  (−∞; 1)∪(1; 2)∪(2; 3)∪(3; 4)∪(5;+∞).

На M:

$\log _ левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: 5 минус x, знаменатель: 4 минус x конец дроби меньше или равно 1 плюс \log _ левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 9x плюс 20 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 5| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 4| меньше или равно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 5| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 4| равносильно$

$равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно 1 равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно \log _|x минус 2||x минус 2| равносильно левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка |x минус 5| минус |x минус 2| правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно 1 равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно \log _|x минус 2||x минус 2| равносильно$
$равносильно левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка |x минус 5| минус |x минус 2| правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно \log _|x минус 2||x минус 2| равносильно$
$равносильно левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка |x минус 5| минус |x минус 2| правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x минус 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 минус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка x минус 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 минус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3,5 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Интервалы	(−∞; 1)	(1; 3)	(3; 3,5)	(3,5; +∞)
Знак рационального выражения	−	+	−	+

С учетом ограничений на х получим множество решений исходного неравенства: (1; 2)∪(2; 3)∪[ 3,5; 4)∪(5; +∞).

Ответ: $левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3,5;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126

Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь