ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 528871 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant6.$

Спрятать решение

Решение.

В силу формулы $логарифм по основанию a b умножить на логарифм по основанию c d = логарифм по основанию a d умножить на логарифм по основанию c b$ имеем:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка ,$

при условиях $x больше 1, x не равно 2.$

Используя формулу $логарифм по основанию a левая круглая скобка bc правая круглая скобка = логарифм по основанию a b плюс логарифм по основанию a c,$ получаем:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка .$

Пусть $t = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка .$ Заметим, что $t больше 0$ при любых значениях x. Имеем:

$t левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка \geqslant6 равносильно t в квадрате плюс t минус 6\geqslant0 равносильно левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка }\geqslant0 \undersett больше 0\mathop равносильно t больше или равно 2.$

Вернёмся к исходной переменой:

$система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant2,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений 3 в степени x плюс 1\geqslant9,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений 3 в степени x \geqslant8,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно логарифм по основанию 3 8,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 8 меньше или равно x меньше 2,x больше 2. конец совокупности .$ $система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant2,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений 3 в степени x плюс 1\geqslant9,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 3 в степени x \geqslant8,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно логарифм по основанию 3 8,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 8 меньше или равно x меньше 2,x больше 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 8; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь