ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 508392 Добавить в вариант

Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате 2 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 4 плюс 2 меньше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство равносильно неравенству

$левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.$ $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус$
$минус 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.$

Пусть $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t,$ тогда $логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 2=t в квадрате$ и, следовательно,

$логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t в квадрате минус 2.$

Тогда исходное неравенство равносильно: $t в квадрате минус 2t меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 2,$ откуда

$0 меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.$ $0 меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.$

Ответ: $левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Замечание.

Нетрудно заметить, что полученный корень удовлетворяет ОДЗ.

Приведём другое решение:

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полные квадраты:

$логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате 2 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 4 плюс 2=$
$= логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате 2 минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 2 плюс 1= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$

Тогда

$левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка минус 1=0, логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 2 минус 1=0 конец системы . равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508392: 509403 511586 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Александр Мордвинов 07.05.2015 16:00

Можете расписать, как решается последнее двойное неравенство? Я решал как квадратное (делал еще одну замену). Есть ли другой способ?

Александр Иванов

Есть.

Сумма двух взаимно обратных чисел по модулю не меньше двух.

Поэтому неравенство $0 меньше или равно a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби \le2$ равносильно уравнению $a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби =2$ , а то в свою очередь равносильно $a=1$

Tyoma Kozlov 18.01.2017 22:28

А при перехода от одного основания к другому не происходит потеря корней?

Александр Иванов

В данном случае нет.

Переход к известному основанию (в данном случае к двойке) равносилен.