Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 658808
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства за­да­ет­ся си­сте­мой со­от­но­ше­ний x боль­ше 0, x не равно 1. При x боль­ше 1 зна­ме­на­тель дроби, сто­я­щей в левой части не­ра­вен­ства, по­ло­жи­те­лен, а по­то­му на него можно умно­жить, не меняя знака не­ра­вен­ства. По­лу­чим:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x левая круг­лая скоб­ка 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 4 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x минус 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x.

Тогда

2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x минус 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x рав­но­силь­но 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 мень­ше или равно x мень­ше или равно 4.

На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке x боль­ше 1, по­это­му 1 мень­ше x мень­ше или равно 4.

При 0 мень­ше x мень­ше 1 зна­ме­на­тель дроби от­ри­ца­те­лен, а зна­чит, знак не­ра­вен­ства ме­ня­ет­ся. На­хо­дим:

левая круг­лая скоб­ка 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 , x боль­ше или равно 4. конец со­во­куп­но­сти .

Про­ме­жут­ку 0 мень­ше x мень­ше 1 при­над­ле­жат ре­ше­ния 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 .

Объ­еди­няя най­ден­ные ре­ше­ния, по­лу­ча­ем ответ: 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 или 1 мень­ше x мень­ше или равно 4.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 4 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x плюс 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x левая круг­лая скоб­ка 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 x конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0, x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 , 1 мень­ше x мень­ше или равно 4. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 464
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Метод ин­тер­ва­лов, До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025