Решите неравенство:
Решение. Заменим 
на 
перенесем полученное выражение в правую часть и применим на области определения формулу суммы логарифмов. Получим:
Тогда исходное уравнение равносильно системам:
Ответ:
Примечание.
Выше мы воспользовались тем, что число, большее положительного, положительно:
Запомним этот прием, он позволяет уменьшать количество неравенств в системах без потери равносильности.
Примечание Александра Иванова (Санкт-Петербург).
Читатель, много решавший логарифмические уравнения и неравенства, знает, что если при решении уравнений или неравенств используется формула суммы логарифмов, то для обеспечения равносильности достаточно записать условие на аргумент лишь одного из складываемых логарифмов. Например, справедлива равносильность
Пользуясь сказанным, приведенное решение можно чуть сократить:
Примечание Дмитрия Гущина (Санкт-Петербург).
Приведенная в предыдущем примечании идея является частным случаем следующих общих и чрезвычайно полезных утверждений, которые несложно доказать, например, методом математической индукции.
Утверждение 1 (о равносильности логарифмических уравнений). Для обеспечения равносильности при использовании формул суммы логарифмов при решении уравнений вида
содержащих
|
логарифмов переменной величины, достаточно 
условия на аргументы логарифмов:
Иными словами, избавляясь от логарифмов, одно любое условие можно опустить. Это свойство, основанное на том, что число, равное положительному, положительно, позволяет уменьшить число условий, например, в следующем случае (три логарифма переменных — два условия):
Или в задаче с параметром, предварительно избавившись от минуса перед логарифмом:
То же утверждение верно и для неравенств.
Утверждение 2 (о равносильности логарифмических неравенств). Для обеспечения равносильности при использовании формул суммы логарифмов при решении неравенств вида
содержащих
|
(для 
рассуждения аналогичны), тогда
В этом случае, избавляясь от логарифмов, можно опустить одно, но не любое одно условие, а лишь стоящее в итоговом неравенстве справа от знака меньше (или, что то же самое, слева от знака больше). Не приводя доказательства для общего случая, заметим, что в каждом конкретном случае опираемся на то, что число, большее положительного, положительно. Проиллюстрируем сказанное примером:
Обратим внимание читателя, что при решении уравнений иногда можно не заботиться о равносильности преобразований, рассчитывая сделать проверку. Однако невозможно проверить подстановкой бесконечное количество решений неравенств. Поэтому, решая неравенства, непременно приходится следить за равносильностью преобразований. В простых задачах достаточно найти область определения, на которой преобразования равносильны. Но в сложных задачах, в частности в задачах с параметром, явно найти ОДЗ бывает затруднительно или даже невозможно. В таких случаях недостаточно, как это нередко бывает, записать в правом углу листа неравенства, задающие ОДЗ, решить те, что решаются, а остальные бросить. Необходимо хорошо понимать, как на каждом шаге решения сохранять равносильность преобразований. Помочь в этом и призваны приведенные рассуждения.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Пусть 
Тогда неравенство системы принимает вид: 
Значит, 
Последовательно получаем:
и поэтому, используя свойство 
получаем:
Решим неравенство:
получаем:
получаем квадратное неравенство 
откуда 
или 
Тогда имеем:
по формулам суммы и разности логарифмов, получаем
Учитывая, что неравенство определено на множестве 
имеем:
и 
принимает только положительные значения, а потому неравенство можно записать в виде
получаем: 
или 
и 
следует неравенство 
Иными словами, множество решений неравенства 
при условии положительности правой части будет содержать только такие значения переменной, для которых 
и 
принимает положительные значения, при 
неравенство принимает вид:
получаем: 
и/или 3,
При этих значениях переменной 
левая часть неравенства (*) положительна, поэтому на множестве решений правая часть неравенства (*) также будет положительна (большее положительного положительно). Таким образом, при найденных значениях переменной правая часть исходного неравенства определена, поэтому все они входят в ответ. При таком решении не требуется искать ОДЗ исходного неравенства и решать для этого неравенство 
поэтому при 
неравенство принимает вид:
Учитывая ограничения 
выполняется и условие 
получаем, что 
при любом значении x, получаем:
тогда
и 
то есть при 
Перенесем 
в правую часть, воспользуемся формулой суммы логарифмов и возрастанием логарифмической функции с основанием, большим 1. Получаем: 
Но 
в силу неравенства (2). Это и означает, что 
то есть неравенство (3) автоматически выполнено на множестве решений системы неравенств (1), (2) и (4). В силу сказанного получаем:
:
сумма 
положительна, а потому 
тогда
Для таких значений переменной знаменатель дроби в правой части неравенства принимает только положительные значения, а значит, и числитель должен быть положительным. Применим формулу логарифма частного, получим равносильное неравенство:
справедлива равносильность
равносильны «итоговой» системе 
Для таких значений переменной находим:
или 
подставим в исходное неравенство 
:
подставим в исходное неравенство 
:
Для таких значений переменной
значит, x не может быть отрицательным.
и потому
получим:
